Resumé.

Denne afhandlings emne er at diskutere Zenons paradokser med løbere på grundlag af umiddelbare overvejelser.

Nogle filosoffer opfatter begrebet grænseværdi af en sumfunktion som værende identisk med begrebet om en sum af uendeligt mange tal, for så vidt en sådan summering findes. Det viser sig imidlertid, at løsningen på disse paradokser findes i (1) den måde, hvorpå historien om f.eks. væddeløbet mellem Achilleus og skildpadden er fortalt, som kan gengives rekursivt uden stop. Desuden viser den rette forståelse af uendelighedsbegrebet at opløse et påstået paradoks angående, (2) hvordan man kan have passeret uendeligt mange punkter (i et endeligt tidsrum). Dette svarer til forskellen mellem henholdsvis 1) at være i nutiden og 2) at overveje en fortidskonstruktion.

En senere afhandling omhandler diskussionen i Wesley C. Salmons antologi Zeno’s Paradoxes ([Salmon 70]).

1. Achilleus og skildpadden.

Nogle af Zenon fra Eleas paradokser med løbere kan tilsyneladende løses ved matematisk formalisme, f.eks. det om væddeløbet mellem Achilleus og skildpadden. Men spørgsmålet er, om de handler om den matematiske verden eller den fysiske verden, dvs. den fænomenale, hvori ikke alle de teoretiske begreber nødvendigvis har et direkte modstykke. At naturvidenskabens teorier kan anvendes til forudsigelse af fænomenerne er en anden sag, da dette ikke kræver en analogi mellem den matematiske og den fysiske verden, men blot at teorierne er brugbare, eller empirisk adækvate, således som Bas van Fraassen argumenterer for det i The Scientific Image ([Fraassen 80], p. 12, 18).

1.1 En beskrivelse af paradokset.

I den populariserede udgave af en af Zenons paradokser, Achilleus og skildpadden, skal Achilleus indhente en skildpadde, der har et forspring. Det må bemærkes, at paradokset består af to dele: 1) vor common sense opfattelse af væddeløbet, som er baseret på erindringsindtryk af afsluttede forløb, og 2) Zenons beretning om det.

Ifølge det implicitte ræsonnement i (2) Zenons beretning om løbet vil Achilleus aldrig indhente skildpadden. Ikke desto mindre vil vi hævde, (1) at vi ved, at Achilleus vil indhente skildpadden. Dette er et paradoks vedrørende vor tidsopfattelse. Zenon har naturligvis en pointe her.

ad 1: Zenons ræsonnement kan fremstilles på følgende måde. Lad os antage, at Achilleus løber G gange så hurtigt som skildpadden, og at forspringet er på F længdeenheder. Ifølge principper, der er i overensstemmelse med erfaringen, kan det udregnes, at Achilleus har indhentet skildpadden, når han har løbet strækningen F G/(G - 1).

ad 2: Når Achilleus har løbet F længdeenheder, har skildpadden løbet F/G. Når Achilleus har indhentet dette forspring på F/G, har skildpadden løbet F/G². Når Achilleus har løbet F/G², har skildpadden løbet F/G³. Etc. Skildpadden har efter hvert af disse dele af løbet stadigvæk et forspring (der ganske vist bliver mindre og mindre, men aldrig 0).

Det betyder to ting: 1) Hver gang et af disse stadier er afsluttet, er der endnu et stadium, som Achilleus skal gennemløbe. Dvs. at Achilleus til stadighed er i den samme situation. 2) I en situation, hvor Achilleus har indhentet skildpadden, må han have gennemløbet uendeligt mange stadier. Dette er et andet aspekt af ovenstående paradoks. Det første kan sammenfattes i:

1.1.1 En rekursiv beskrivelse af væddeløbet.

Efter hvert af de beskrevne dele af løbet foreligger der den samme situation, bortset fra at skildpaddens har et forspring på 1/G af, hvad det var ved løbets udgangspunkt.

Vi kan kalde længden af strækningen hen til skildpaddens udgangspunkt for d og forholdet mellem Achilleus hastighed og skildpaddens for g. Væddeløbet mellem Achilleus og skildpadden kan da beskrives ved en beretning, B(d).

B(d): ”Achilleus indhenter skildpadden, der har et forspring på d”.

Denne beretning har følgende rekursive form, hvor udtrykket L(s) betyder ”Achilleus løber strækningen s”:

B(d) -> L(d) + B(d/g).

Hvis forspringet ved løbets begyndelse var F, og forholdet mellem hastighederne g = G, kan hele beretningen udtrykkes med:

B(F).

Hvis denne beskrivelse opfattes som en ren matematisk beskrivelse, er situationen efter hvert trin helt den samme som ved starten af forløbet. For der findes ikke absolutte længder på linjen i geometrien. Ifølge denne matematiske beskrivelse foreligger der dermed ingen som helst ændringer, der implicerer, at løbet vil stoppe.

Af ovenstående beskrivelse fås således:

B(F) -> L(F) + B(F/G).

B(F/G) -> L(F) + L(F/G) + B(F/G²).

B(F/G²) -> L(F) + L(F/G) + L(F/G²) + B(F/G³).

B(F/G³) -> L(F) + L(F/G) + L(F/G²) + L(F/G³) + B(F/G⁴).

Denne rekursive beskrivelse kan sammenlignes med en rekursiv beskrivelse, der indeholder et ikke-rekursivt tilfælde, som endog bliver opfyldt og dermed afslutter beskrivelsen.

Lad ”Løb(N)” betyde: Løberen løber de resterende N/M af strækningen og lad L(M) betyde ”Løberen løber en 1/M af hele strækningen”. Løbet kan da beskrives ved disse rekursive definitioner:

Løb(0).

Løb(N) -> L(M) + Løb(N-1).

Løbet kan da beskrives således:

Løb(M).

Eksempel. M=3:

Løb(3) -> L(M) + Løb(3-1).

Løb(2) -> L(M) + Løb(2-1).

Løb(1) -> L(M) + Løb(1-1).

Løb(0).

1.2 Matematiske løsningsforslag.

I dette underafsnit ses på to matematiske løsningsforslag, der er baserede på matematisk formalisme for såkaldt summation af uendeligt mange værdier. Der viser sig, at ingen af disse forsøg på at løse paradokset lykkes. Det første forsøg, som består i en simpel udregning, er cirkulært, mens det andet ikke kan godtgøre, at det, der foregår i beskrivelsen af væddeløbet mellem Achilleus og skildpadden, fører til an afslutning.

1.2.1 Summation af uendeligt mange værdier.

Vi kan forsøge at få paradokset til handle om en summation S_∞ af samtlige stadier, indtil Achilleus ifølge common sense opfattelsen har indhentet skildpadden[1]:

S_∞ = F ∑^∞_i=1 G^-i+1

Heraf fås:

S_∞ = F +F ∑^∞_i=2 G^-i+1

S_∞ G = F G + F ∑^∞_i=2 G^-i+2

S_∞ G = F G + F ∑^∞_i=1 G^-i+1

Herved fås følgende udregning af summationen:

S_∞ G = F G + S_∞

S_∞ = F G/(G – 1)

Denne regning med en tænkt summation af uendeligt mange tal forudsætter imidlertid, at summationen kan gennemføres, dvs. at paradokset er løst. Forstået som et løsningsforsøg på paradokset er dette forsøg dermed cirkulært. Cirkulariteten begås i den linje, hvor summationen substitueres med S_∞,idet der ved denne substitution forudsættes, at summationen forstået som en summation af uendeligt mange tal kan gennemføres – og at den har semantisk mening.

1.2.2 Matematisk grænseværdi.

I matematikken betegner summationssymbolet og dets parametre grænseværdien af S_nfor n gående mod ∞, dvs. for n stigende ubegrænset. Det betegner således ikke på nogen bogstavelig måde en summation af uendeligt mange tal.

Mere specifikt siges en funktion f(x) at gå mod grænseværdien b for x gående mod ∞, hvis

"εÎR+: $hÎN: "x: x > h => 0 < |f(x) - b| ≤ ε.

Denne definition kan anvendes på

S_n = F ∑ⁿ_i=0 G^-i.

Dette betyder, at følgende skal bevises:

"εÎR+: $hÎN: "n: n > h => 0 < |S_n - S_∞| ≤ ε, hvor S_n og S_∞ kan erstattes med udtrykkene i ovenstående underafsnit, hvorefter korrektheden heraf kan bekræftes.

Denne matematiske formalisme løser imidlertid ikke paradokset, da den som lige nævnt ikke handler om nogen sum, men om noget andet, for i ovenstående definition ligger der blot følgende:

En grænseværdi af en sum af n tal for n gående mod uendelig er ikke en sum af uendeligt mange tal i en eller anden bogstavelig betydning, men er en værdi, som denne sum af n tal kan komme vilkårligt tæt på uden at komme længere væk for noget højere n.

Vor tale om uendeligt mange elementer i en bestemt mængde, betyder ikke, at mængden indeholder et antal elementer, som vi kan kalde ”uendelig”, omtrent ligesom når vi taler om, at der er 1017 elementer i en mængde, men at mængden af disse elementer ikke har nogen afslutning, dvs. at vi kan blive ved med at udpege nye elementer i mængden. Her har vi en ordnet mængde af uendeligt mange intervaller på et linjestykke, hvilket vil sige, at vi kan blive ved med at pege på nye, stadig mindre intervaller, endog efterfølgende i ordningen. Ovenstående bevis er ikke i modstrid med Zenons beretning, men efterligner den snarere.

Endelig må det bemærkes at definitionen ovenfor kun betyder at S_n kommer relativt nærmere til S_∞, men ikke absolut nærmere, da der ikke findes absolutte længder i geometrien. Det er endog sådan, at opdelingen af linjen fra S_n+1 til S_∞ er isomorf med opdelingen fra S_n til S_∞. Så meget desto mere ændres løberens situation ikke.

1.3 En ufærdig beretning.

Det følgende løsningsforsøg er inspireret af det faktum, at hvis Achilleus’ hastighed er v, er summen af de første n løbede tidsintervaller S_n/v. Nummer n af disse tidsintervaller har varigheden F/(G^n-1v). Dette leder til den løsning på paradokset om Achilleus og skildpadden, at ovenstående fortælling derom efter hvert af sine trin kun har omhandlet et begrænset tidsrum og ikke hele løbet.[2] Den omhandler dermed kun, hvad der foregår indenfor en sum af tidsintervaller, der hver for sig er blevet stadigt mindre indtil et eller andet tidspunkt før og vilkårligt tæt på det punkt, hvor vi ville forvente, at Achilleus indhenter skildpadden:

Det er ikke væddeløbet, der aldrig bliver færdigt, men selve beretningen om væddeløbet, der er fremlagt således, at den aldrig bliver færdig, og derfor omhandler den selvsagt ikke hele fiktionen om væddeløbet. Det, der er tilfældet, er derfor, at Achilleus ikke indhenter skildpadden inden for det tidsrum, som beretningen formodes at omhandle. Grunden hertil er, at beretningen har den ovenfor beskrevne rekursive form.

Vi kan forestille os, at vi lige har overværet væddeløbet mellem Achilleus og skildpadden og set Achilleus indhente skildpadden. Ikke desto mindre kan vi efterfølgende begynde at berette om væddeløbet på følgende måde, der aldrig kan få ende:

Skildpadden startede med et forspring af størrelsen F. Achilleus løb G gange så hurtigt som skildpadden. Først nåede Achilleus hen til det sted, hvorfra skildpadden startede. På det tidspunkt havde skildpadden bevæget sig en strækning af længden F/G. Dernæst nåede Achilleus hen til det sted, hvorfra skildpadden var efter den første etape. Etc.

At denne beretning aldrig kan slutte, skyldes som nævnt, at den er fortalt på en sådan måde, at summen af disse tidsintervaller på intet tidspunkt overstiger løbets varighed.

Men den er også fortalt på en måde, der tydeliggør, at Achilleus situation principielt er uændret for hvert stadium.

Betyder dette, at paradokset er løst? Det kan fremføres, at beretningen om væddeløbet blot udpeger en række punkter ét efter ét på den tidsakse, som denne fortidsfiktion kan tilknyttes. Dette sker efter en bestemt algoritme som er defineret af beretningen. Der er intet paradoksalt i, at lige som vi ikke kan afslutte mange andre algoritmer, bliver vi heller ikke færdige med denne algoritme. Faktisk kan der både fremsættes og kombineres mange algoritmer for opdeling af et linjestykke eller en væddeløbsbane i intervaller, endog med mere end ét fortætningspunkt. Det kan også fremføres, at disse naturligvis kan passeres, og at de blot udgør om en tankemæssig konstruktion, der som sådan ikke har noget med løbet at gøre. Men at se på paradokset på denne måde er at ignorere Zenons budskab.

1.4 Naturvidenskabelige begrænsninger.

Efter denne gennemgang er naturvidenskabelige betragtninger vedrørende paradokset egentlig irrelevant. Dette skal dog ikke hindre os dog i at se på et naturvidenskabeligt baseret forslag til en løsning på det problem, som beretningen åbenbart implicerer, nemlig at Achilleus kun kommer vilkårlig tæt på skildpadden, men aldrig indhenter den. Forslaget er baseret på den idé, at de matematiske afstande kan være ubetydelige ifølge de naturvidenskabelige teorier. Om den fysiske virkelighed ville man således hævde, at når forskellen i position ikke kan måles af den ene eller anden grund, er Achilleus og skildpadden nået til det samme sted på væddeløbsbanen. Ifølge dette ville væddeløbet simpelthen være afsluttet, når afstanden mellem de to konkurrenter er mindre end en bestemt størrelse. På sine egne præmisser forklarer dette forslag dog ikke det faktum, at Achilleus ikke blot indhenter skildpadden, men også løber forbi skildpadden, dvs. også med en længde på et halvt punkt.

Nedenfor forklares, at dette løsningsforslag ikke går ind på Zenons præmisser, men blot er en afvisning af paradokset. Dette diskuteres også i en senere afhandling.

Zenons beretning kan ikke fuldt ud handle om den fysiske verden, for det er et spørgsmål, hvilke to fysiske punkter på skildpadden og Achilleus der skal sammenlignes under væddeløbet, især når nu de bevæger sig. Hvis vi også inddrager Achilleus skridt og bevægelser, når vi taler om minimale afstande, bliver diskussionen ubegrænset kompleks. Vi må derfor opfatte løbet som omhandlende to punkter A og B, som bevæger sig hen ad en linje. At indblande fysiske tilfældigheder i paradokset er ikke at se på det principielle i det. På den anden side skal de matematiske definitioner forstås rigtigt og deres betegnelser skal ikke tages for bogstaveligt.

1.5 Zenons dikotomiparadoks.

I The Presocratic Philosophers fremføres om “Zeno’s arguments about motion ...”:

“The first asserts the non-existence of motion on the ground that that which is in locomotion must arrive at the half-way stage before it arrives at the goal…” ([Kirk 1983] p. 270)

Dette argument kan på grund af sin korte form fortolkes på to måder. (Jf. [Kirk 1983] p. 270.)

1.5.1 Det højrerekursive dikotomiparadoks.

Den ene fortolkning minder om paradokset om Achilleus og skildpadden - og er højrerekursiv lige som dette paradoks:

For at nå sit mål må en løber først løbe halvvejen til målet, derefter halvvejen af resten, etc.

Lad os forudsætte, at målet er punktet 1 på x-aksen, og definere sagnet L(s).

L(s): ”Løberen løber en strækning af længde s”.

Vi kan da definere en rekursiv beretning C(d) om, hvordan løberen løber fra punktet d til punktet 1:

C(d) -> L((1-d)/2) + C((1+d)/2).

Hele beretningen kan dermed udtrykkes ved:

C(0).

De første fire trin har følgende form:

1: C(0) -> L(1/2) + C(1/2).

2: C(1/2) -> L(1/4) + C(3/4).

3: C(3/4) -> L(1/8) + C(7/8).

4: C(7/8) -> L(1/16) + C(15/16).

Dette giver følgende sammensatte resultat:

1-4: C(0) -> L(1/2) + L(1/4) + L(1/8) + L(1/16) + C(15/16).

Beretningen er analog med den om Achilleus og skildpadden. Således er situationen efter ethvert stadium i denne beretning den samme som før stadiet. Thi den resterende beretning handler stadigvæk om, at løberen løber en strækning, som kan beskrives på samme måde som før stadiet, bortset fra at dens længde her halveres for hvert stadium. Der er altså igen tale om en beretning, der i kraft af sin form aldrig bliver færdig. Desuden må det bemærkes, at akkurat lige som det var tilfældet for paradokset med Achilleus og skildpadden, er der efter hvert stadium ikke sket en reel ændring, da der ikke findes absolutte længder i det matematiske univers.

Vi kan forestille os, at vi lige har overværet løberen løbe en strækning på 1 længdeenhed. Ikke desto mindre kan vi begynde at berette om løbet på følgende tilbageskuende måde, der aldrig når til en afslutning:

Løberen startede ved punkt 0. Først nåede han til strækningens midtpunkt. Dernæst nåede han til midtpunktet af den sidste del. Osv.

At denne beretning aldrig får ende, skyldes som lige nævnt, at den er fortalt på en sådan måde, at summen af disse tidsintervaller på intet tidspunkt overstiger løbets varighed, og ikke mindst at løberens situation forbliver principielt uændret.

1.5.2 Det venstrerekursive dikotomiparadoks.

Dens anden fortolkning af paradokset er venstrerekursiv og kan gengives således:

For at nå til et punkt P halvvejs før sit mål, må en løber først løbe til et punkt halvvejs før punktet P, etc.

Lad os forudsættes, at målet er punktet 1 på x-aksen, og definere udsagnet L(s):

L(s): ”Løberen løber en strækningen af længde s”.

Vi kan da definere en rekursiv beretning D(d) om, hvordan løberen løber fra punktet 0 til punktet d:

D(d) -> D(d/2) + L(d/2).

Ved hjælp heraf kan den samlede beretning udtrykkes ved:

D(1).

De første fire trin har følgende form:

1: D(1) -> D(1/2) + L(1/2).

2: D(1/2) -> D(1/4) + L(1/4).

3: D(1/4) -> D(1/8) + L(1/8).

4: D(1/8) -> D(1/16) + L(1/16).

Dette giver følgende sammensatte resultat:

1-4: D(1) -> D(1/16) + L(1/16) + L(1/8)+ L(1/4)+ L(1/2).

Herved er det illustreret, at beretningen D om hele løbet skal afsluttes, før beretningen om løbet af de enkelte stadier kan komme i gang. Dette faktum er allerede givet ved venstrerekursiviteten. Beretningen D kommer derfor overhovedet ikke til eksplicit at omtale eller omhandle løbets start på noget af sine trin. Denne version er tilbageskuende, og betragtet på denne måde er den analog med den første version.

Vi kan atter forestille os, at vi lige har overværet løberen løbe en strækning på 1 længdeenhed. Ikke desto mindre kan vi begynde at berette om løbet på en måde, der aldrig får ende:

Løberen startede ved punkt 0. Før han nåede frem til strækningens midtpunkt, måtte han løbe halvvejs til dette punkt. Før han nåede frem til sidstnævnte punkt måtte han nå halvvejs dertil. Osv.

1.6 Aristoteles argumenter.

Aristoteles fremfører, at længde og tid kan kaldes ”uendelig” både med hensyn til delelighed og deres yderste ende, og konkluderer deraf:

“So while a thing in a finite time cannot come in contact with things quantitatively infinite, it can come in contact with things infinite in respect of divisibility: for in this sense the time itself is also infinite: and so we find that the time occupied by the passage over the infinite is not a finite but an infinite time, and the contact with the infinites is made by means of moments not finite but infinite in number. (After Gaye)” ([Kirk 70], p. 270)

Aristoteles har naturligvis en pointe i at sige, at et linjestykke både kan være 1) uendelig lang og 2) uendelig delelig, dvs. også hvis dens længde er endelig, således som Zenon demonstrerer. Desuden er det klart, at der om en løbers gennemløb af et linjestykke kan siges det samme om delingen af den tid, løbet varer, som om delingen af det linjestykke, der gennemløbes. For passagen af linjestykket og tidens gang følges ad. Det betyder imidlertid, at Aristoteles med sin påpegning ovenfor ikke løser paradokset, men blot viser to sider af det.

Således kan vi atter se på situationen, hvor en løber er nået frem til sit mål. Dette er et paradoks, da det er umuligt for ham ifølge Zenons beretning. Thi for at nå frem til det måtte løberen først nå halvvejs, og for at nå til det punkt måtte han nå halvdelen af denne distance, etc. Men hvis løberens hastighed var h, nåede løberen halvvejs til tiden (1/2)/h, han nåede en fjerdel af turen efter tiden (1/4)/h, etc.

Der er åbenbart ingen ende på de relaterede problemer, man kan komme i tanke om, i forbindelse med de tre diskuterede paradokser. Ifølge The Presocratic Philosophers kan der af Aristoteles’ diskussion uddrages følgende venstrerekursive ræsonnement:

“(1) To reach his goal a runner must touch infinitely many points ordered in the sequence 1/2, 1/4, 1/8, ...

(2) It is impossible to touch infinitely many points in a finite time.

(3) the runner cannot reach his goal.” ([Kirk 70], p. 270)

Ifølge Aristoteles argumentation ovenfor er det muligt at passere uendelig mange punkter i en endelig tid, hvorfor (2) er falsk. Men da dette argument handler om et overskuet tidsrum (dvs. afsluttet eller fremtidigt), handler det ikke om løberens situation, som er i nuet. Derfor løser påvisningen af, at (2) er falsk ikke paradokset, men illustrerer det kun det ene aspekt af det.

Aristoteles fremfører, at dette argument forudsætter, at de enkelte afsnit kun eksisterer potentielt. Men denne betingelse vil Aristoteles diskutere:

”... when someone asks the question whether it is possible to traverse infinite things - either in time or in distance - we must reply that in a way it is but in a way it is not. For if they exist actually it is not possible, but if potentially, it is; for someone in continuous movement has traversed infinite things incidentally, ...” ([Kirk 70], p. 271)

Det er sandt at det sidste gælder for f.eks. den tilbageskuende beskrivelse. Spørgsmålet er, hvad det ville sige, at intervallerne skulle eksistere aktuelt, dvs. som intervaller. Svaret er, at dette er tilfældet for det enkelte interval, når det bliver udpeget, hvilket det er i nuet. Det er netop udpegede intervaller, vi har at gøre med dem i den rekursive udlægning af Zenons beskrivelse. Det er sandt, at ifølge denne venstrerekursive beretning har løbet ingen begyndelse, lige som det ingen afslutning har ifølge den højrerekursive.

Det må bemærkes, at det ikke kan være tilfældet, at intervallerne alle sammen eksisterer aktuelt som noget forskelligt fra det at eksistere potentielt. For vi kan ikke udpege dem alle sammen på gang.

1.7 Resumerende betragtninger.

Da det er enklere at kommentere den højrerekusive beretning C, ovenfor, skal en afsluttende kommentar handle om denne beretning. Vi kan forestille os, at vi er en situation, hvor en løber er nået i mål, og vi kan da spørge om, hvordan løberen har kunnet passere uendeligt mange strækninger af længderne (½)ⁿ. At der er uendeligt mange strækninger af denne slags før målet i punkt 1, betyder blot, at for enhver sådan trækning, vi kan udpege, kan vi udpege en strækning mere. At løberen har løbet uendeligt mange af den slags strækninger før punktet 1, betyder dermed blot, at for hver strækning af den slags, vi ved at løberen har løbet, kan vi pege på endnu en strækning, som løberen har løbet, længere henne på banen. Til hvert n svarer der intervallet fra 1-(½)^n-1 til 1-(½)ⁿ. Løberen rører på denne måde uendeligt mange punkter indenfor en endelig tid: der er ingen ende på mængden af de punkter, han rører ved indenfor en endelig tid.

Det kan konstateres at Zenons beretning om løbet handler om nutiden, dvs. løberens situation, mens de tilbageskuende forklaringer handler om fortidsfiktioner: Vi kan ikke forklare tidens gang. Vi kan kun forklare, hvordan det er at være i nutiden og se på en fortidskonstruktion, som her, og på en fremtidsfiktion.

Som tidligere berørt kan vi ganske vist forestille os, at en person indvender: ”For lidt siden sad du og talte mig. Det var både virkeligt og nutid dengang. Nu er det fortid. Dette beviser, at tiden går.”[3] Dette argument illustrerer imidlertid kun det faktum, at vi har erindringsindtryk, og at den pågældende er i gang med at indplacere dem i en fortidskonstruktion. Et uløst filosofisk problem kan naturligvis ikke løses med utilstrækkelige forklaringer. Det må hellere forblive uløst lige nu, kun belyst.

Litteratur.

[Fraassen 80] Bas C. van Fraassen: The Scientific Image
Oxford University Press (Oxford 1980)

[Kirk 83] G.S. Kirk, J.E. Raven, M. Schofield: The Presocratic Philosophers, 2. ed.,
(Cambridge 1983)

[Salmon 70] Wesley C. Salmon, ed.: Zeno’s Paradoxes
Bobbs-Merrill (Indianapolis & New York, 1970)

[1] Jeg har set denne argumentation et sted, men har ikke været i stand til at genfinde den.

[2] Her skylder jeg at henvise til Aristoteles, som diskuterer dette emne i ([Kirk 70], p. 270). Emnet behandles i underafsnittet ”Resumerende betragtninger”.

[3] Jf. underafsnittet ”Nutid og fortid og fortids fremtid” i Afhandling Nr. 1.

Argumenter

onsdag, maj 30, 2012

Achilleus og skildpadden.

En redegørelse for vor erkendelsesmæssige situation.

Afhandling Nr. 8.

Indholdsfortegnelse.