Denne tekst er foreløbig.
Resumé.
Denne
artikel behandler de følgende fire af Zenons paradokser: 1) Dikotomiparadokset,
2) Achilleus-paradokset, 3) Den flyvende pil og 4) De bevægende rækker.
Indledning.
Dikotomiparadokset
og det om Achilleus er tidligere behandlet i 2 sammenhængende længere artikler (Jf.
[Afhandling 8] og [Afhandling 8F]) og i nogle tidligere artikler, der er nævnt
i litteraturlisten under ” Artikler og afhandlinger”.
Dikotomiparadokset
har to fortolkninger, en højrerekursiv og en venstrerekursiv. Slægtskabet
mellem det højrerekursive og Achilleus paradokset vises. (Jf. underafsnittet
”Det højrerekursive dikotomiparadoks” i Afhandling
Nr. 8.)
Paradokset
om den flyvende pil minder på den anden side umiddelbart om det venstrerekursive
dikotomiparadoks, ifølge hvilken der ikke kan udpeges noget første sted, som det
bevægende objekt når frem til.
Paradokset
om de bevægende rækker, som er forklaret ret omstændeligt i Aristoteles
gengivelse, handler derimod kun om konsistensen af en videnskabelig fiktion, men
ikke om vor oplevede verden.
Dikotomiparadokset.
Dikotomiparadokset lyder således:
“... The
first [paradox] asserts the non-existence of motion on the ground that that
which is in locomotion must arrive at the half-way stage before it arrives at
the goal...” (239b11) ([Kirk 70], p. 270, min kantede parentes.)
Hermed antydes det, at dette kan foregå vilkårligt mange
gange, da det samme også gælder for den resterende strækning.
Nogle fremfører et modargument, der går ud på at
opskrive et udtryk for summen af længden af de første n således beskrevne
strækninger. Derpå fremføres det, at denne sum vil gå mod hele strækningens
længde for n gående mod uendelig. Denne grænseværdi kaldes så for en ”sum”.
0------------------------------1/2-------------3/4-----7/8------1
Jf. afsnittet ”Summation af uendeligt mange værdier”
i Afhandling Nr. 8, hvori følgende
fremføres:
”En grænseværdi af en sum af n tal for n gående mod
uendelig er ikke en sum af uendeligt mange tal i nogen bogstavelig betydning,
men er en værdi, som denne sum af n tal kan komme vilkårligt tæt på uden at
komme længere væk senere (for noget tal højere end n).”
I stedet kan det indses, at efter gennemløbet af n
sådanne strækninger, har den resterende strækning længden (½)n,
da den halveres efter hver af disse ankomster.
Dette illustrerer, at det er muligt at komme
vilkårligt tæt på strækningens beregnede endepunkt uden at nå det. Der findes
altså ikke noget tidspunkt før målet, hvor målet nås. Og i selve målet bliver
målet ikke nået, for da befinder det bevægende objekt sig allerede i målet.
Achilleus.
Paradokset, der er kendt under navnet ”Achilleus og skildpadden”, er
det paradoks, som Aristoteles kalder “the so-called ‘Achilles’”:
“In a race
the quickest runner can never overtake the slowest, since the pursuer must
first reach the point whence the pursued started, so that the slower must
always hold a lead.” (239b14) ([Kirk 70], p.
272)
Dette paradoks er tilsyneladende blot en mere
indviklet udgave af Dikotomiparadokset med et mål i bevægelse. Med dette bevægende
mål som referenceramme, er det ikke væsentligt forskelligt fra
dikotomiparadokset.
På common sense præmisser kan vi regne ud, hvornår
den hurtigste løber indhenter den langsomste, således:
Lad os antage, at den hurtigste løbers hastighed er
V, at den er G gange den langsomste løbers hastighed, og at forspringet var F
ved begyndelsen af løbet.
Det kan da udregnes, at hele strækningen har længden
F’ = F * G / (G - 1).
Det betyder, at når den hurtigste løber når den
langsomste løbers begyndelsespunkt, har han løbet F/F’ = (G - 1)/G af hele
strækningen F’, og mangler 1/G af F’.
Strækningen F’ deles altså i forholdet (G - 1) til 1.
Efter n indhentninger resterer der (1/G)n
af hele strækningen.
Dette paradoks illustrerer dermed det samme som
dikotomiparadokset.
Når et objekt nærmer sig et langsommere objekt i
samme retning som dette, kan det komme vilkårligt tæt på det forreste uden at
nå det. Dvs. der er ikke noget punkt på linjen, hvor det forreste objekt
indhentes, men kun et punkt, hvor det er allerede indhentet.
Lad os blot acceptere det common sense standpunkt,
at et objekt, der bevæger sig med en jævn hastighed, vil bevæge sig efter
ligningen:
s = v * t, hvor s = længden af den tilbagelagte strækning,
v = objektets hastighed, t = forløbet tid.
Lad os desuden acceptere, at objektet derfor vil nå
frem til tiden T = S / V.
Den
flyvende pil.
Dette paradox lyder således:
“Zeno
argues fallaciously; for if, he says, everything always rests when it is
against what is equal, and what is in locomotion is always in the now, the
arrow in locomotion is motionless. But this is false, for time is not composed
of indivisible ‘nows’, no more than is any other magnitude.” (239b30-33) ([Kirk
70], p. 273)
“The third [argument concerning motion] is the one
just mentioned, that the arrow in locomotion is at rest. This follows from
assuming that time is composed of ‘nows’; for if that is not granted, the
conclusion will not follow.” (239b30-33) ([Kirk 70], p. 273)
Zeno abolishes motion, saying “What is in
motion moves neither in the place it is nor in one in which it is not.”’ ([Kirk
70], p. 273)
Vi kan her antage, at udtrykket “what is equal” refererer
til den plads, som et objekt fylder.
Det er nærliggende at tænke, at naturligvis følger
den plads, som et objekt fylder, med objektets bevægelse, og at der heraf
følger, at den første præmis er forkert.
At et objekt bevæger sig, indebærer, at dets afstand
til denne plads bliver positiv. Herved involveres den samme problematik som det
venstrerekursive dikotomiparadokset påpeger. På denne måde ligner paradokset om
den flyvende pil klart det venstrerekursive dikotomiparadoks.
Det må bemærkes, at uanset hvor kort vi kan konstatere,
at objektet har bevæget sig fra det nævnte sted, er dette ikke at observere en
bevægelse. For vi må skelne mellem selve vor sansning af et objekts bevægelse som
sådan og den konstaterede ændring af et objekts position.
Bevægelse som sådan er derfor noget, vi sanser (i
nuet), indbefattet dets forskellige aspekter, lige som vi har en sansning af
farve. Selve vort indtryk af et objekts bevægelse er flygtigt og kan ikke
fastholdes. Vi kan ganske vist følge det bevægede objekt, men så bevæger det
pågældende objekt sig ikke relativt til vor fokus, naturligvis.
Det er tidligere, i Afhandlingerne Nr. 1-6, fremført, at det
eneste, vi har at gøre med eller konfronteres, er nuet, med alt dets indhold. Vi oplever således ikke hele turen af et
objekts bevægelse fra et punkt A til et punkt B som sådan, undtagen når vi
aktivt følger det, men selvfølgelig ikke på én gang.
Vi kan have 1) erindring om eller dokumentation af,
at et objekt har befundet sig et bestemt sted på et bestemt tidligere
tidspunkt. Vi kan ligeledes have 2) erindringer om, at et objekt har befundet
sig på et bestemt sted på et bestemt tidspunkt før det erindrede eller noterede
tidspunkt, og at vi efterfølgende har set det dukke op. Derfor kan vi have
bestemte forventninger vedrørende punkt 1.
Vort billede af dette kan illustreres ved ovennævnte
bevægelsesligning, som indebærer det beskrevne paradoks. Vi kan se bussen i bevægelse,
når den dukker op ved hjørnet, men det billede, som bevægelsesligningen
forsyner os med, kan ikke opfattes som en bogstavelig realitet, kun som en
nyttig forestilling eller teoretisk konstruktion.
De
bevægende rækker.
Dette paradox lyder således:
“The fourth is the one about equal
bodies which move in opposite directions past equal bodies in a stadium at
equal speed, the one row from the end of the stadium [towards us] and the other
from the middle [away from us] – in which he thinks it follows that half the
time is equal to [its] double. The fallacy consists in requiring that things
which move at equal speed past a moving body and past a body at rest of equal magnitude
take an equal time. But this is false. For example, let the stationary equal
bodies be Α, Α …; let Β, Β … be those starting from the middle, equal in number
and magnitude to them; let Γ, Γ … be those starting from the end, equal in
number and magnitude to them [sc. the Αs], and equal in speed to the Βs. Now it
follows that the first Β and the first Γ are at the end at the same time, as
they [sc. the Βs and Γ s] move past each other. And it follows that the Γ [sc.
the first Γ] has gone right past all of them [sc. the Βs], but the Β [sc. the
first Β] past only half [what it passes, sc. the Αs]: so the time is half, for each
is alongside each for an equal time. And at the same time it follows that the
first Β has gone past all the Γs; for the first Γ
and the first Β will be at opposite ends at the same time, because both are an
equal time alongside the Αs. This then is his argument, and it depends on the
falsehood we have mentioned.” ([Kirk 70], p.
275, min understregning.)
326 “Α = stationary
bodies.
Β = bodies moving from
Δ towards E.
Γ = bodies moving from
E towards Δ.
Δ = starting-place.
E = goal.” ([Kirk 70], p.
275)
Vi behøver kun at antage, at formålet med paradokset
er at bevise, at bevægelse er umulig, ved at bevise, at ideen om det involverer
et paradoks.
Det må således bemærkes, at også en diskussion af en
ældre tekst som denne handler om at uddrage et eventuelt budskab af den, et
budskab, der har relevans her og nu. Udsagn om, at på sin tid var teksten så og
så dybsindig, er ikke filosofisk relevant, men kun historisk.
Det har derfor ikke har mening at inddrage et begreb
om forfatterens eventuelle intentioner med teksten, men derimod at diskutere, hvad
den implicerer eller kan bruges til.[i]
Det meste af teksten handler om teknikaliteter, der,
når de afdækkes, afslører den substans, at hver gang et B har passeret et A,
har det passeret 2 Γ’er.
Det betyder ifølge common sense, at hvis et B har bevæget sig med en
længdeenhed per tidsenhed i forhold til rækken af A’er, så har det bevæget sig
med to længdeenheder per tidsenhed i forhold til rækken af Γ’er, der bevæger
sig med samme hastighed i den modsatte retning.
Men ifølge citatet tager det også den samme tid for
et B at passere et Γ som at passere et A, da det hævdes, at hver passage af et andet
objekt tager den samme tid.
Dette er ganske vist helt forkert ifølge common
sense og videnskab. Men det må erindres, at mange matematikere mener, at Zenons
fortælling om de to løbere blot indebærer, at den bagerste løber indhenter den
forreste, og ikke andet. Måske begår undertegnede en lignende fejl, ikke med
konstateringen i af denne fejltagelse, men ved at overse noget andet. Derfor må
jeg forbeholde mig mit standpunkt.
Hvis vi derimod forestiller os, at vi har at gøre
med en fiktion om naturens regularitet, i hvilken disse legemer kun kan bevæge
sig en minimal længdeenhed ad gangen uden mellempositioner per minimale
tidsenhed, så er det, der bliver sagt om B’ernes passage forbi A’erne, korrekt,
isoleret set. Ligeledes er det, der bliver hævdet om B’erne og Γ’erne passage
forbi hinanden korrekt, isoleret set, men samlet set indeholder de to forhold
de nævnte inkonsistenser. Dette betyder dog blot, at denne frit opfundne
konstruktion er selvmodsigende, med siger ikke noget filosofisk om
virkeligheden.
Så alene af den grund er det uberettiget, når artiklens
forfatter hævder, at dette paradoks har givet anledning til følgende spørgsmål:
“(…) if the distance a body moves is simply a function of its positions
relative to other bodies, is there any absolute basis for ascribing movement to
it at all?” ([Kirk 70], p. 276)
Desuden må der naturligvis besvares benægtende
hertil, da ordet ”relativ” betegner det modsatte af absolut. Faktisk kan et
legemes lineære bevægelse kun
beskrives i relativt til et andet legeme. Så der findes ikke absolutte
hastigheder.
Vi kan sammenligne situationerne ved anvendelse af det underforståede
referencesystem og af et alternativt referencesystem.
Referencesystem: A-rækken.
Flytninger i længdeenheder
per 2 tidsenheder.
A: 0
B: +2
Γ: -2
B’erne flytter sig her 2 længdeenheder til højre. Γ’erne flytter sig 2
enheder til venstre i referencesystemet A. Dette er to uafhængige flytninger
uanset starttidspunktet: den samlede ændring af afstand bliver 4 enheder.
Referencesystem: Γ-rækken.
Flytninger i længdeenheder
per 2 tidsenheder
A: +2
B: +4
Γ: 0
[Salmon 70] Wesley Γ. Salmon, ed.: Zeno’s Paradoxes
Bobbs-Merrill (Indianapolis & New York, 1970)
Bobbs-Merrill (Indianapolis & New York, 1970)
Artikler og afhandlinger.
[Afhandling 8] Achilleus og skildpadden. Fra Afhandling Nr. 8.http://ovemk.blogspot.dk/2012/05/akilleus-og-skildpadden-en-henvisning.html
Tænkning og Achilleus: http://ovemk.blogspot.dk/2016/06/tlkning-og-achilleus.html
Achilleus uden matematik: http://ovemk.blogspot.dk/2016/02/achilleus-uden-matematik.html
Aktuaren og Achillus: http://ovemk.blogspot.dk/2015/10/aktuaren-og-achilleus.html
Zenons paradokser
om bevægelse: http://ovemk.blogspot.dk/2015/10/zenons-pardokser-om-bevgelse-en-kort.html.
Zenons løberparadokser: http://ovemk.blogspot.dk/2015/05/zenons-lberparadokser.html
Achileus og skildpadden: http://ovemk.blogspot.dk/2012/05/akilleus-og-skildpadden-en-henvisning.html
Slutnoter.
[i] Det kan
således overvejes, hvorvidt dette paradoks’ beskrivelsen af bevægelsen af de
indgående ensartede objekter og placeringen af dem kan anvendes til at
diskutere konsistensen af ideen om minimale længder og tidsenheder. Det er
fremført, at en sådan antagelse kan bruges til at gendrive paradokset om de to
løbere.
Dette er berørt i Appendiks ”A.2 Wisdoms fysisk baserede modargumenter” i
afhandlingen En kritik af W.Γ. Salmons
Zeno’s Paradoxes. Her nævnes, at
J.O. Wisdom fremfører som begrundelse for, at
Zenons beretning er falsk, at Achilleus ganske vist kan nå hen til, hvor
skildpadden var, og at dette kan gentages et antal gange, men på et tidspunkt
passer beskrivelsen ikke længere på et fysisk kapløb ([Salmon 70] p. 85)
Gennemførelsen af dette forudsætter dog, at
denne idé er konsistent. Zenons argument kan da opfattes som et forsøg på at
bevise dens inkonsistens.
På den anden side kan dette paradoks ikke bruges til
at gendrive de to første paradokser, da ideen om minimale længder og
tidsenheder ville indebære en lettere gendrivelig fortolkning end udeladelsen
af den, f.eks. den nævnte matematiske fortolkning.
På idéens egne præmisser må det ligeledes bemærkes,
at al bevægelse per definition er relativ til andre objekter. Det er således
misvisende at sige, at A’erne er stationære. I stedet kan vi dog vælge A’erne
som referencesystem.
Hvis vi alligevel går ind på præmisserne, kan vi
(forsøgsvis) antage, at der findes sådanne minimale måleenheder, og at længden
af hvert objekt er lig med en minimale længeenhed, og at den tid, det tager for
et B at passere et A, er identisk med den minimale tidsenhed. Det må dog
bemærkes, at en sådan idé kun er en fiktion, der hører hjemme i videnskabelig
realisme, lige som Demokrits ideer
gør.
Det må naturligvis bemærkes, at der er forskel på at
tale om, hvad der sker i løbet af en specifik tidsenhed, og at tale om
hastighed, dvs. hvad der sker per tidsenhed. Det sidste er blot en abstraktion
i form af resultatet af en division. Hvordan skulle vi i øvrigt ellers tale om
en hastighed, der er forskellig fra en længdeenhed per tidsenhed i dette
univers?
Således kan vi godt tale om en hastighed, der er to
længdeenheder per tidsenhed, eller ½ længdeenhed per tidsenhed, hvis det
fortolkes således, at det blot betyder, at det varer to tidsenheder et flytte
et element en længdeenhed.
Ifølge den refererede tankegang kan vi kun tale om
hastigheder, der er en længdeenhed per tidsenhed. Sagen er imidlertid
problematisk:
Hvis et minimalt objekt f.eks. passer tre objekter
per tidsenhed, kan det ikke være ved siden af det midterste, men kun ved siden
af det sidste.
Det kan da hævdes at være en begrundelse, at vi ikke
kan bruge vor dagligdags erfaringer i denne (tænkte) mikro-verden.
Ingen kommentarer:
Send en kommentar