Zenons såkaldte paradokser om bevægelse kender vi fra Aristoteles gengivelse:
Paradokset om Achilleus og
skildpadden er det paradoks, som Aristoteles kalder “the so-called ‘Achilles’”:
”In
a race the quickest runner can never overtake the slowest, since the pursuer
must first reach the point whence the pursued started, so that the slower must
always hold a lead.” (239b14) ([Kirk 83], p. 272)
Dikotomiparadokset.
I denne afhandling anvendes
flere gange betegnelsen ”Zenons dikotomiberetning”. Denne beretning indgår som
en del af dikotomiparadokset:
“...
The first [paradox] asserts the non-existence of motion on the ground that that
which is in locomotion must arrive at the half-way stage before it arrives at
the goal...” (239b11) ([Kirk 83], p. 270, min kantede parentes.)
Zenons dikotomiberetning er simpelthen det sidste udsagn:
”that
which is in locomotion must arrive at the half-way stage before it arrives at
the goal” (239b11) ([Kirk 83], p. 270)
Indledning.
Disse
paradokser har været diskuteret lige siden de først blev fremsat. Men man kan
spørge sig, eller i det mindst vil nogen spørge om, hvorfor de egentlig har
været det, for vi klarer os jo udmærket uden at tænke på dem. Hertil kan siges,
at hvis man mener, at det er uværdigt at lade spørgsmål ligge uden at forsøge
at forstå dem og besvare dem, så bliver man af den grund nødt til at forsøge at
give sit bidrag hertil. Og hvis man ikke på forhånd ved om disse bestræbelser
kan føre ti et givtigt resultat er det ekstra uklogt at undlade dem.
Her
skal de granskes og fortolkes.
Generelt om fortolkning og kritik.
Under kritikken
af et udsagn og fortolkningen deraf er det ikke kun nødvendigt, men også
givtigt at undgå den alvorlige argumentationsfejl, som består i ”Den let
gendrivelige fortolkning”. Denne forklares her:
Den let gendrivelige fortolkning består
i ikke at vælge den vanskeligst gendrivelige fortolkning af et udsagn, man vil
gendrive:
Når man kritiserer en argumentation, bør man i
sandhedens interesse ikke vælge den lettest gendrivelige fortolkning af den,
men den vanskeligst gendrivelige fortolkning. Thi når man har gendrevet den
lettest angribelige fortolkning, har man stadigvæk ikke gendrevet den
vanskeligst gendrivelige fortolkning.
Der kan opnås
en vanskeligere gendrivelig fortolkning ved at fjerne kritisable, men
underordnede detaljer i teksten. Denne idé om at gå til selve sagen fører
lettest til den mest frugtbare fortolkning. Thi herved kan vi koncentrere os om
sagen selv og undgå nytteløse spekulationer over, hvad forfatteren mon har
tænkt.
Således er det
ikke givtigt at afvise ovennævnte paradokser med reference til ideer om en mindste
målbare afstand eller forestillinger om udelelige partikler og punkter eller
lignende. Den endelige version, vi skal se på, bliver derfor en beretning, der
foregår i et matematisk univers tilsat en parameter, vi kan kalde ”tid".
Forståelsen
og fortolkningen af Zenons to beretninger drejer sig både om deres matematiske
indhold og fortolkningen af dem. På den ene side er det er ikke tilstrækkeligt
at forstå dem som matematiske eller fysiske udsagn. På den anden side må deres
matematiske og logiske indhold inddrages i selve fortolkningen af dem.
Det matematiske indhold.
Hvad angår de
matematisk logiske overvejelser, kan vi for enkelthedens skyld fokusere på dikotomiparadokset,
da dette svarer til Achilleus løb relativt til skildpaddens position.
Da der ikke
findes absolutte afstande på en linje i geometrien, er der ingen ændring sket
med objektets situation på linjen efter hvert gennemløb af den første halvdel
af resten. Dette kan illustreres med disse to grafer.
0------------------------------1/2-------------3/4-----7/8------1
1/2-----------------------------3/4-------------7/8----15/16-----1
Opgaven
forbliver derfor fuldstændig uændret efter hvert gennemløb af en delstrækning. Således
forbliver det bevægende objekt i Zenons amalyse til venstre for målet, dvs. i
det åbne interval fra og med starttidspunktet t0 indtil t0
+ 1/v, hvor v er det bevægende objektets hastighed. Opdelingen af den
resterende del af linjen er endog isomorf med opdelingen af linjen før den
sidste passagen.
Som
Aristoteles antyder, kan der foretages en tilsvarende opdeling af tiden i
tidsintervaller, hvorfor der er tid nok til at gennemløbe alle intervallerne i
strækningen.[1]
Men alt det, der kan siges om strækningen,
kan også siges om hele tidsintervallet,
blot om tidsperioder i stedet for delstrækninger. Så tidsforløb er lige så
paradoksfyldte som at passere strækninger.
En række matematikere har fået den idé at opsummere alle delstrækningerne
(½)1, (½)2,
(½)3,...
De pågældende matematikeres hensigt hermed er åbenbart at vise, at
summen af alle disse afstande er lig med hele afstanden, og at gennemløbet af
dem dermed fører i mål.
Lad
Sn betegne ∑ni=0(½)i,
og lad S∞ betegne grænseværdien af Sn
for n gående mod ∞,
dvs. for n stigende ubegrænset. Dette udtryk betegner således ikke på nogen
bogstavelig måde en summation af uendeligt mange tal.
Generelt siges en funktion f(x)
at gå mod grænseværdien b for x gående mod ∞, hvis
"εÎR+: $hÎN: "x:
x > h => 0 < |f(x) - b| ≤ ε.
Denne definition kan anvendes på Sn,
hvilket
betyder, at følgende skal bevises:
"εÎR+: $hÎN: "n:
n > h => 0 < |Sn - S∞| ≤ ε, hvor Sn kan
erstattes med ovenstående definition, og S∞ med
et forslag til en grænseværdi, f.eks. værdien 1, hvorefter korrektheden heraf
kan bekræftes.
Denne matematiske formalisme løser imidlertid ikke
paradokset, da den som lige nævnt ikke handler om nogen sum, men om en
grænseværdi, hvilket er noget andet, for i ovenstående definition ligger der
blot følgende:
En grænseværdi af en sum af n tal for n gående mod
uendelig er ikke en sum af uendeligt mange tal i en eller anden bogstavelig
betydning, men er en værdi, som denne sum af n tal kan komme vilkårligt tæt på
uden at komme længere væk for noget højere n.
Derfor er tankegangen i
ovenstående bevis ikke i modstrid med Zenons beretning, men efterligner den
snarere. I såvel beviset som i paradokset kommer vi vilkårlig tæt på en bestemt
entitet, men uden at nå det, nemlig henholdsvis det, der konvergeres imod, og
målet.
Der er intet paradoksalt i
dette. De samme gælder for mange andre funktioner, eksempelvis for funktionen f(x):
1 – 1/x.
Fortolkningen.
Fortolkningen
er vigtig og nødvendig, for lige som alle udsagn forudsættes at have semantisk
mening, forudsættes de også at have et indhold i form at et budskab.
Det kan
indvendes, helt rigtigt, at dikotomiberetningen simpelthen er fortalt således,
at den ikke når til ende. Men det er netop beretningens budskab, at det er
muligt at beskrive løbet på en denne måde. Thi denne beretning tilsigter at vise,
at vi kan komme tættere og tættere på et bestemt fremtidigt tidspunkt uden at
nå det, lige som et objekt kan komme tættere på et punkt på en linje uden at nå
frem til det:
Det kan også
indvendes, at ifølge common sense og vore strukturerede erfaringer kan vi nå
frem til et punkt længere henne på en linje i overensstemmelse med ligningen:
s = v * t,
hvor s betegner længden af et objekts bevægede strækning, v objektets
hastighed, t den forløbne tid for bevægelsen.
Dette er ganske
vist baseret på erindrede erfaringer, om at et objekt på et tidspunkt har været
på et bestemt sted og senere har været på et andet, dvs. at det er nået frem
til dette, målet. Men spørgsmålet er, hvordan denne bevægelse sker.
Vi kan ikke beskrive
denne passage punkt for punkt, og heller ikke delinterval efter delinterval. Vi
kan kun forestille os, at vi har været på vej fra fortiden og vilkårlig tæt på
nuet, men ikke hvordan overgangen til nuet sker, da den sidste del af denne
overgang kan opdeles lige som hele passagen kan. Så fortiden er kun noget, vi
har diffuse forestillinger om. I nuet er vi derimod allerede i nuet.
Jf.
nedenstående links.
Afslutning.
Det er
fremgået, at funktionen f(n) = ∑ni=0(½)i,
som udtrykker længden af de første n delstrækninger, har grænseværdien 1 for n
gående mod ∞, men at den ikke antager
værdien 1 for noget n. Selve dette er der intet paradoksalt i.
Det kan indvendes, at dette ikke i
praksis har nogen betydning anvendt på opdelingen af en strækning i stykker af
længden (½)i. Dette er dog ikke blot at vælge den
lettest gendrivelige fortolkning af paradokset, men også at unddrage sig en forståelse
af Zenons beretning. Alternativt kunne man lige så godt hævde, at funktionen
s(t) = v * t gradvist antager værdien 1. Men det er netop denne funktions
gradvise opnåelse af nogen som helst værdi, Zenon analyserer. Det at s(t) <
1, kan vi kalde at være i fortiden. Den tilstand, at s(t) = 1, kan vi kalde at
være i nuet. Overgangen hertil sker ikke for nogen værdi af t i fortiden.
Litteratur.
[Kirk 83] G.S. Kirk, J.E. Raven, M. Schofield: The Presocratic Philosophers, 2.
ed.,
(Cambridge 1983)
(Cambridge 1983)
Afhandling Nr. 8:
”fortsættelsen” Zenons
løberparadokser: http://ovemk.blogspot.dk/2015/05/zenons-lberparadokser.html
[1]
Aristoteles fremfører, at afstand
og tid kan kaldes ”uendelig” både med hensyn til delelighed og deres yderste
ende, og konkluderer deraf, at målet kan nås på en endelig tid:
“So
while a thing in a finite time cannot come in contact with things quantitatively
infinite, it can come in contact with things infinite in respect of
divisibility: for in this sense the time itself is also infinite: and so we
find that the time occupied by the passage over the infinite is not a finite
but an infinite time, and the contact with the infinites is made by means of
moments not finite but infinite in number. (After Gaye)” ([Kirk 83], p.
270, mine understregninger.)
Ingen kommentarer:
Send en kommentar