Omskrevet 21/3 2016.

---

Indhold

Aktuaren og Achilleus. 1

Bedrevidende overfladiskhed: 1

Den originale tekst. 2

Princippet om den vanskeligst gendrivelige fortolkning. 2

Kort gennemgang af aktuarens opfattelse. 3

Kritikken af aktuarens opfattelse. 4

Aktuarens afsluttende kommentar. 5

Betydningen af Zenons paradokser med løbere. 5

Litteratur. 6

Aktuaren og Achilleus.

Denne artikel er en kritik af indlægget ”Når humanister laver matematik” forfattet af pseudonymet ”mwm” i 17 årgang, nr. 1 oktober 2003 af tidskriftet ”Famøs”. Dette skrift beskrives som ”Fagblad for Aktuar, Matematik, - Økonomi og statistik”[1].

Artiklen gennemgås tilsyneladende uforholdsmæssig detaljeret, men dette skyldes, at den er et skoleeksempel på

Bedrevidende overfladiskhed:

mwm refererer en version af paradokset om Achilleus og skildpadden fra en artikel i “Politikens bog om de store filosoffer” (Politikkens forlag, 1999). Efter at have accepteret selve beskrivelsen refererer mwm artiklens påstand om, hvor uløseligt og ulogisk dette paradoks forekommer, og gør opmærksom på, hvor træt han er ved tanken om, ”at de ca. 2500 års matematisk udvikling, der adskiller Zenon fra os, tilsyneladende er gået fuldstændig ubemærket hen over hovedet på verden uden for det matematiske samfund”.

For ifølge mwm kan vi nu forklare ”de (åbenbart) uvidende masser om, hvad der egentligt skete, da Achilleus og skildpadden løb om kap.”

De må hertil bemærkes, at også uddannede matematikere og andre med forstand på matematik har skrevet om Zenons løberparadokser (Jf. [Salmon 70]), samt at den matematiske udvikling, som mwm refererer til, nemlig konvergensbegrebet, ikke er nødvendig for at bevise det, som mwm, vil bevise.

Endelig er disse såkaldte paradokser ikke først og fremmest matematiske ”gåder”, man har et filosofisk budskab, som kritikerne desværre unddrager sig forståelsen af. For at sætte de følgende udredninger i perspektiv, skal det allerede her oplyses, at dette filosofiske budskab handler om overgangen mellem vor nuværende situation og et fremtidigt tidspunkt, eller set på en anden måde, hvordan vi er kommet fra fortiden til nuet.

Den originale tekst.

Det må bemærkes, at i stedet for at se på den meget populariserede version af dette paradoks er det mere afklarende at fokusere på en oversættelse af den originale, klare og kondenserede tekst. Paradokset om Achilleus og skildpadden er det paradoks, som Aristoteles kalder “the so-called ‘Achilles’” og refererer således:

“In a race the quickest runner can never overtake the slowest, since the pursuer must first reach the point whence the pursued started, so that the slower must always hold a lead.” (239b14) ([Kirk 83], p. 272)

Desuden er det afklarende at anvende princippet om den vanskeligst gendrivelige fortolkning. Så denne beskrives allerede her:

Princippet om den vanskeligst gendrivelige fortolkning.

Når man kritiserer en argumentation, bør man i sandhedens interesse ikke vælge den lettest gendrivelige fortolkning af den, men den vanskeligst gendrivelige fortolkning. Thi når man har gendrevet den lettest angribelige fortolkning, har man stadigvæk ikke gendrevet den vanskeligst gendrivelige fortolkning.

Denne idé om at gå til selve sagen fører desuden lettest til den mest frugtbare fortolkning. Thi herved kan vi koncentrere os om sagen selv og undgå nytteløse spekulationer over, hvad forfatteren mon har tænkt.

Der kan opnås en vanskeligere gendrivelig fortolkning ved at fjerne kritisable, men underordnede detaljer i teksten.

For at få det fulde udbytte af Zenons beretning må den derfor forstås abstrakt, som noget der foregår i en matematisk model tilsat tid.

Kort gennemgang af aktuarens opfattelse.

I den populære version kaldes den hurtigste løber Achilleus og den langsomste ”skildpadden”. mwm benævner forholdet mellem skildpaddens og Achilleus hastighed r og konkluderer[2], at efter hver indhentning bliver skildpaddens forspring formindsket med faktoren r, men aldrig 0.[3]

Heraf drager aktuaren følgende overraskende konklusion:

”Når det bliver formuleret sådan, er det pludselig klart, at Zenon konkluderer mere, end han har belæg for. Han har ganske vist udpeget uendeligt mange tidspunkter, hvor Achilleus ikke passerer skildpadden, men derfor kan han ikke slutte, at det aldrig sker.”

Det er tydeligvis lige omvendt, hvis vi fastholder den fortolkning, at vi har at gøre med en matematisk model, dvs. ikke blander fysiske forhold ind i den. I så fald er løberens situation efter hver passage den samme som umiddelbart før passagen.

Derfor kan Zenons beretning kun omhandle en halvåben linje, der er åben ved det beregnelige mødetidspunkt. Dette betyder, at den hurtigste af løberne ikke indhenter den langsomste indenfor Zenons beretning.

Det er på denne måde, at denne beretning ikke er et paradoks, matematisk og logisk set.

Herved er vi allerede i nærheden af en fortolkning.

Kritikken af aktuarens opfattelse.

Hvad der her sker kan sammenlignes med, at funktionen g(n) = n/(n + 1), der konvergerer mod 1 for n gående mod uendelig, aldrig opnår værdien 1. Dette er et matematisk faktum, og herom vil ingen matematiker sige, at ”derfor kan man ikke slutte, at det aldrig sker”.

Rent matematisk er det, der bliver klart vedrørende paradokset, tværtimod at der forbliver en afstand mellem de to bevægende objekter – vel at mærke inden for det refererede tidsinterval i Zenons beretning.

Desværre forklarer mwm ikke, om han/hun mener, at hans/hendes påstand er klart sand, fordi han/hun opfatter den som en fysisk bevægelse. Sådan behøver beretningen som nævnt ikke at fortolkes.

Hvis det ikke er en abstrakt problemstilling, vi ser på, men en fysisk, er der så mange andre måder at undslippe paradokset på. Således berører mwm selv, at man blot kunne løse en simpel bevægelsesligning for, hvornår Achilleus indhenter skildpadden. Så hvis man vil benytte sig af en af disse måder, er der slet ingen grund til at beskæftige sig med paradokset.

Desuden må man søge at finde frem til dets budskab af filosofisk art. Dette budskab viser sig som nævnt at angå vor opfattelse af tid, nemlig at denne opfattelse er mangelfuld og hvordan:

Det Zenon tydeliggør er, at vi fra fortiden kan komme tættere og tættere til nuet uden nødvendigvis at komme til nuet (analogt med, at vi fra nutiden kan komme til et fremtidigt tidspunkt etc.). Thi i Zenons beretning beskæftiger vi os kun med et åbent interval, der ikke indeholder nuet.

Dette er uddybet og forklaret i

Afhandling Nr. 8:

http://filosofisk-debat.blogspot.dk/2013/01/afhandling-nr-8.html

og i ”fortsættelsen” Zenons løberparadokser: http://ovemk.blogspot.dk/2015/05/zenons-lberparadokser.html

Aktuarens afsluttende kommentar.

Åbenbart må mwm mene, at hermed er alt sagt, for mwm forsætter, som om det følgende er en supplerende bemærkning:

”Som en ekstra krølle på historien ved vi også, (men Zenon gjorde nok ikke) at følgen af t_n’er konvergent med grænseværdi [...] = S(0)/(1-r),” (Min forkortelse.)

Men en reel grænseværdi af en sum af n tal for n gående mod uendelig er ikke en sum af uendeligt mange tal i en eller anden bogstavelig betydning, men er en værdi, som denne sum af n tal kan komme vilkårligt tæt på uden at komme længere væk for noget højere n.

Herefter beviser mwm, at følgen af afstande konvergerer mod grænseværdien 0 for n gående mod uendelig.

Men dette er egentlig overflødigt, eftersom mwm allerede har konstateret, at den langsomste løbers forspring bliver formindsket med faktoren r efter hver indhentning, og derved kommer vilkårligt tæt på 0.

Betydningen af Zenons paradokser med løbere.

Hvorfor skal vi beskæftige os med Zenons løberpardokser? Ikke fordi de er drillegåder, men fordi:

1) Man kan ikke vide, hvilket udbytte en granskning af paradokserne vil indebære.

Her er det godgjort, at vi ikke kan påvise nogen overgang fra fortiden til nutiden. Vi oplever ikke en sådan overgang, men i nuet er vi i nuet. Der hersker dermed en dualisme mellem fortid og tid.

2) Det er menneskeligt eller intellektuelt uværdigt at lade undersøgelser ligge, fordi man bagatelliserer dem.

Litteratur.

[Kirk 83]          G.S. Kirk, J.E. Raven, M. Schofield: The Presocratic Philosophers, 2. ed.,
(Cambridge 1983)

[Salmon 70]        Wesley C. Salmon, ed.: Zeno’s Paradoxes
Bobbs-Merrill (Indianapolis & New York, 1970)

---

[1] Jf. http://www.famosweb.org/arkiv/17-1.pdf.

[2] Faktisk hævder mwm, at Zenon konstaterer, dette. men Zenon citeres rent faktisk ikke for i beretningen.

[3] Idet mwm implicit betegner starttidspunkterne for de successive indhentninger n = 0, 1, 2, … fremfører mwm følgende argumentation, hvor S(0) betegner det oprindelige forspring, og t_n betegner tidspunktet for afslutningen af den n+1’te passage:

”Det generelle system anes nu: Zenon danner en følge af tidspunkter t₀, t₁, t₂, ... givet ved forskriften

t_n = (∑ⁿ_i=0 rⁱ) S(0).

Derefter konstanterer han, at hver gang n forøges med 1 bliver afstanden S(t_n)−A(t_n) ganget med r, (...) men den bliver aldrig lig 0. Zenons argument kan nu gengives således:

Der findes intet n ∈ N, så S(t_n)−A(t_n) = 0,

ergo findes der intet t ∈ R+, så S(t)−A(t) = 0.”