Links til flere af mine danske hjemmesider:

Etisk kritik af faktisk forekomne handlinger og holdninger.

Kritik er velset.
http://praktisk-etik.blogspot.dk/
- - -

Afhandlinger. Mine filosofiske Afhandlinger nr. 1-8 vedrørende anti-introduktionisme.
https://wordpress.com/posts/antiintroduktionisme.wordpress.com
- - -

Afhandlinger. Mine filosofiske Afhandlinger nr. 1-8 vedrørende anti-introduktionisme.
Her findes de også i Word-udgave.
https://sites.google.com/site/antiintroduktionisme/

Omskrevet 21/3 2016.

---

Indhold

Aktuaren og Achilleus. 1

Bedrevidende overfladiskhed: 1

Den originale tekst. 2

Princippet om den vanskeligst gendrivelige fortolkning. 2

Kort gennemgang af aktuarens opfattelse. 3

Kritikken af aktuarens opfattelse. 4

Aktuarens afsluttende kommentar. 5

Betydningen af Zenons paradokser med løbere. 5

Litteratur. 6

Aktuaren og Achilleus.

Denne artikel er en kritik af indlægget ”Når humanister laver matematik” forfattet af pseudonymet ”mwm” i 17 årgang, nr. 1 oktober 2003 af tidskriftet ”Famøs”. Dette skrift beskrives som ”Fagblad for Aktuar, Matematik, - Økonomi og statistik”[1].

Artiklen gennemgås tilsyneladende uforholdsmæssig detaljeret, men dette skyldes, at den er et skoleeksempel på

Bedrevidende overfladiskhed:

mwm refererer en version af paradokset om Achilleus og skildpadden fra en artikel i “Politikens bog om de store filosoffer” (Politikkens forlag, 1999). Efter at have accepteret selve beskrivelsen refererer mwm artiklens påstand om, hvor uløseligt og ulogisk dette paradoks forekommer, og gør opmærksom på, hvor træt han er ved tanken om, ”at de ca. 2500 års matematisk udvikling, der adskiller Zenon fra os, tilsyneladende er gået fuldstændig ubemærket hen over hovedet på verden uden for det matematiske samfund”.

For ifølge mwm kan vi nu forklare ”de (åbenbart) uvidende masser om, hvad der egentligt skete, da Achilleus og skildpadden løb om kap.”

De må hertil bemærkes, at også uddannede matematikere og andre med forstand på matematik har skrevet om Zenons løberparadokser (Jf. [Salmon 70]), samt at den matematiske udvikling, som mwm refererer til, nemlig konvergensbegrebet, ikke er nødvendig for at bevise det, som mwm, vil bevise.

Endelig er disse såkaldte paradokser ikke først og fremmest matematiske ”gåder”, man har et filosofisk budskab, som kritikerne desværre unddrager sig forståelsen af. For at sætte de følgende udredninger i perspektiv, skal det allerede her oplyses, at dette filosofiske budskab handler om overgangen mellem vor nuværende situation og et fremtidigt tidspunkt, eller set på en anden måde, hvordan vi er kommet fra fortiden til nuet.

Den originale tekst.

Det må bemærkes, at i stedet for at se på den meget populariserede version af dette paradoks er det mere afklarende at fokusere på en oversættelse af den originale, klare og kondenserede tekst. Paradokset om Achilleus og skildpadden er det paradoks, som Aristoteles kalder “the so-called ‘Achilles’” og refererer således:

“In a race the quickest runner can never overtake the slowest, since the pursuer must first reach the point whence the pursued started, so that the slower must always hold a lead.” (239b14) ([Kirk 83], p. 272)

Desuden er det afklarende at anvende princippet om den vanskeligst gendrivelige fortolkning. Så denne beskrives allerede her:

Princippet om den vanskeligst gendrivelige fortolkning.

Når man kritiserer en argumentation, bør man i sandhedens interesse ikke vælge den lettest gendrivelige fortolkning af den, men den vanskeligst gendrivelige fortolkning. Thi når man har gendrevet den lettest angribelige fortolkning, har man stadigvæk ikke gendrevet den vanskeligst gendrivelige fortolkning.

Denne idé om at gå til selve sagen fører desuden lettest til den mest frugtbare fortolkning. Thi herved kan vi koncentrere os om sagen selv og undgå nytteløse spekulationer over, hvad forfatteren mon har tænkt.

Der kan opnås en vanskeligere gendrivelig fortolkning ved at fjerne kritisable, men underordnede detaljer i teksten.

For at få det fulde udbytte af Zenons beretning må den derfor forstås abstrakt, som noget der foregår i en matematisk model tilsat tid.

Kort gennemgang af aktuarens opfattelse.

I den populære version kaldes den hurtigste løber Achilleus og den langsomste ”skildpadden”. mwm benævner forholdet mellem skildpaddens og Achilleus hastighed r og konkluderer[2], at efter hver indhentning bliver skildpaddens forspring formindsket med faktoren r, men aldrig 0.[3]

Heraf drager aktuaren følgende overraskende konklusion:

”Når det bliver formuleret sådan, er det pludselig klart, at Zenon konkluderer mere, end han har belæg for. Han har ganske vist udpeget uendeligt mange tidspunkter, hvor Achilleus ikke passerer skildpadden, men derfor kan han ikke slutte, at det aldrig sker.”

Det er tydeligvis lige omvendt, hvis vi fastholder den fortolkning, at vi har at gøre med en matematisk model, dvs. ikke blander fysiske forhold ind i den. I så fald er løberens situation efter hver passage den samme som umiddelbart før passagen.

Derfor kan Zenons beretning kun omhandle en halvåben linje, der er åben ved det beregnelige mødetidspunkt. Dette betyder, at den hurtigste af løberne ikke indhenter den langsomste indenfor Zenons beretning.

Det er på denne måde, at denne beretning ikke er et paradoks, matematisk og logisk set.

Herved er vi allerede i nærheden af en fortolkning.

Kritikken af aktuarens opfattelse.

Hvad der her sker kan sammenlignes med, at funktionen g(n) = n/(n + 1), der konvergerer mod 1 for n gående mod uendelig, aldrig opnår værdien 1. Dette er et matematisk faktum, og herom vil ingen matematiker sige, at ”derfor kan man ikke slutte, at det aldrig sker”.

Rent matematisk er det, der bliver klart vedrørende paradokset, tværtimod at der forbliver en afstand mellem de to bevægende objekter – vel at mærke inden for det refererede tidsinterval i Zenons beretning.

Desværre forklarer mwm ikke, om han/hun mener, at hans/hendes påstand er klart sand, fordi han/hun opfatter den som en fysisk bevægelse. Sådan behøver beretningen som nævnt ikke at fortolkes.

Hvis det ikke er en abstrakt problemstilling, vi ser på, men en fysisk, er der så mange andre måder at undslippe paradokset på. Således berører mwm selv, at man blot kunne løse en simpel bevægelsesligning for, hvornår Achilleus indhenter skildpadden. Så hvis man vil benytte sig af en af disse måder, er der slet ingen grund til at beskæftige sig med paradokset.

Desuden må man søge at finde frem til dets budskab af filosofisk art. Dette budskab viser sig som nævnt at angå vor opfattelse af tid, nemlig at denne opfattelse er mangelfuld og hvordan:

Det Zenon tydeliggør er, at vi fra fortiden kan komme tættere og tættere til nuet uden nødvendigvis at komme til nuet (analogt med, at vi fra nutiden kan komme til et fremtidigt tidspunkt etc.). Thi i Zenons beretning beskæftiger vi os kun med et åbent interval, der ikke indeholder nuet.

Dette er uddybet og forklaret i

Afhandling Nr. 8:

http://filosofisk-debat.blogspot.dk/2013/01/afhandling-nr-8.html

og i ”fortsættelsen” Zenons løberparadokser: http://ovemk.blogspot.dk/2015/05/zenons-lberparadokser.html

Aktuarens afsluttende kommentar.

Åbenbart må mwm mene, at hermed er alt sagt, for mwm forsætter, som om det følgende er en supplerende bemærkning:

”Som en ekstra krølle på historien ved vi også, (men Zenon gjorde nok ikke) at følgen af t_n’er konvergent med grænseværdi [...] = S(0)/(1-r),” (Min forkortelse.)

Men en reel grænseværdi af en sum af n tal for n gående mod uendelig er ikke en sum af uendeligt mange tal i en eller anden bogstavelig betydning, men er en værdi, som denne sum af n tal kan komme vilkårligt tæt på uden at komme længere væk for noget højere n.

Herefter beviser mwm, at følgen af afstande konvergerer mod grænseværdien 0 for n gående mod uendelig.

Men dette er egentlig overflødigt, eftersom mwm allerede har konstateret, at den langsomste løbers forspring bliver formindsket med faktoren r efter hver indhentning, og derved kommer vilkårligt tæt på 0.

Betydningen af Zenons paradokser med løbere.

Hvorfor skal vi beskæftige os med Zenons løberpardokser? Ikke fordi de er drillegåder, men fordi:

1) Man kan ikke vide, hvilket udbytte en granskning af paradokserne vil indebære.

Her er det godgjort, at vi ikke kan påvise nogen overgang fra fortiden til nutiden. Vi oplever ikke en sådan overgang, men i nuet er vi i nuet. Der hersker dermed en dualisme mellem fortid og tid.

2) Det er menneskeligt eller intellektuelt uværdigt at lade undersøgelser ligge, fordi man bagatelliserer dem.

Litteratur.

[Kirk 83]          G.S. Kirk, J.E. Raven, M. Schofield: The Presocratic Philosophers, 2. ed.,
(Cambridge 1983)

[Salmon 70]        Wesley C. Salmon, ed.: Zeno’s Paradoxes
Bobbs-Merrill (Indianapolis & New York, 1970)

---

[1] Jf. http://www.famosweb.org/arkiv/17-1.pdf.

[2] Faktisk hævder mwm, at Zenon konstaterer, dette. men Zenon citeres rent faktisk ikke for i beretningen.

[3] Idet mwm implicit betegner starttidspunkterne for de successive indhentninger n = 0, 1, 2, … fremfører mwm følgende argumentation, hvor S(0) betegner det oprindelige forspring, og t_n betegner tidspunktet for afslutningen af den n+1’te passage:

”Det generelle system anes nu: Zenon danner en følge af tidspunkter t₀, t₁, t₂, ... givet ved forskriften

t_n = (∑ⁿ_i=0 rⁱ) S(0).

Derefter konstanterer han, at hver gang n forøges med 1 bliver afstanden S(t_n)−A(t_n) ganget med r, (...) men den bliver aldrig lig 0. Zenons argument kan nu gengives således:

Der findes intet n ∈ N, så S(t_n)−A(t_n) = 0,

ergo findes der intet t ∈ R+, så S(t)−A(t) = 0.”

Zenons pardokser om bevægelse, en kort version.

14/10 2015

Zenons såkaldte paradokser om bevægelse kender vi fra Aristoteles gengivelse:

Paradokset om Achilleus og skildpadden er det paradoks, som Aristoteles kalder “the so-called ‘Achilles’”:

”In a race the quickest runner can never overtake the slowest, since the pursuer must first reach the point whence the pursued started, so that the slower must always hold a lead.” (239b14) ([Kirk 83], p. 272)

Dikotomiparadokset.

I denne afhandling anvendes flere gange betegnelsen ”Zenons dikotomiberetning”. Denne beretning indgår som en del af dikotomiparadokset:

“... The first [paradox] asserts the non-existence of motion on the ground that that which is in locomotion must arrive at the half-way stage before it arrives at the goal...” (239b11) ([Kirk 83], p. 270, min kantede parentes.)

Zenons dikotomiberetning er simpelthen det sidste udsagn:

”that which is in locomotion must arrive at the half-way stage before it arrives at the goal” (239b11) ([Kirk 83], p. 270)

Indledning.

Disse paradokser har været diskuteret lige siden de først blev fremsat. Men man kan spørge sig, eller i det mindst vil nogen spørge om, hvorfor de egentlig har været det, for vi klarer os jo udmærket uden at tænke på dem. Hertil kan siges, at hvis man mener, at det er uværdigt at lade spørgsmål ligge uden at forsøge at forstå dem og besvare dem, så bliver man af den grund nødt til at forsøge at give sit bidrag hertil. Og hvis man ikke på forhånd ved om disse bestræbelser kan føre ti et givtigt resultat er det ekstra uklogt at undlade dem.

Her skal de granskes og fortolkes.

Generelt om fortolkning og kritik.

Under kritikken af et udsagn og fortolkningen deraf er det ikke kun nødvendigt, men også givtigt at undgå den alvorlige argumentationsfejl, som består i ”Den let gendrivelige fortolkning”. Denne forklares her:

Den let gendrivelige fortolkning består i ikke at vælge den vanskeligst gendrivelige fortolkning af et udsagn, man vil gendrive:

Når man kritiserer en argumentation, bør man i sandhedens interesse ikke vælge den lettest gendrivelige fortolkning af den, men den vanskeligst gendrivelige fortolkning. Thi når man har gendrevet den lettest angribelige fortolkning, har man stadigvæk ikke gendrevet den vanskeligst gendrivelige fortolkning.

Der kan opnås en vanskeligere gendrivelig fortolkning ved at fjerne kritisable, men underordnede detaljer i teksten. Denne idé om at gå til selve sagen fører lettest til den mest frugtbare fortolkning. Thi herved kan vi koncentrere os om sagen selv og undgå nytteløse spekulationer over, hvad forfatteren mon har tænkt.

Således er det ikke givtigt at afvise ovennævnte paradokser med reference til ideer om en mindste målbare afstand eller forestillinger om udelelige partikler og punkter eller lignende. Den endelige version, vi skal se på, bliver derfor en beretning, der foregår i et matematisk univers tilsat en parameter, vi kan kalde ”tid".

Forståelsen og fortolkningen af Zenons to beretninger drejer sig både om deres matematiske indhold og fortolkningen af dem. På den ene side er det er ikke tilstrækkeligt at forstå dem som matematiske eller fysiske udsagn. På den anden side må deres matematiske og logiske indhold inddrages i selve fortolkningen af dem.

Det matematiske indhold.

Hvad angår de matematisk logiske overvejelser, kan vi for enkelthedens skyld fokusere på dikotomiparadokset, da dette svarer til Achilleus løb relativt til skildpaddens position.

Da der ikke findes absolutte afstande på en linje i geometrien, er der ingen ændring sket med objektets situation på linjen efter hvert gennemløb af den første halvdel af resten. Dette kan illustreres med disse to grafer.

 0------------------------------1/2-------------3/4-----7/8------1

1/2-----------------------------3/4-------------7/8----15/16-----1

Opgaven forbliver derfor fuldstændig uændret efter hvert gennemløb af en delstrækning. Således forbliver det bevægende objekt i Zenons amalyse til venstre for målet, dvs. i det åbne interval fra og med starttidspunktet t₀ indtil t₀ + 1/v, hvor v er det bevægende objektets hastighed. Opdelingen af den resterende del af linjen er endog isomorf med opdelingen af linjen før den sidste passagen.

Som Aristoteles antyder, kan der foretages en tilsvarende opdeling af tiden i tidsintervaller, hvorfor der er tid nok til at gennemløbe alle intervallerne i strækningen.[1] Men alt det, der kan siges om strækningen, kan også siges om hele tidsintervallet, blot om tidsperioder i stedet for delstrækninger. Så tidsforløb er lige så paradoksfyldte som at passere strækninger.

En række matematikere har fået den idé at opsummere alle delstrækningerne (½)¹, (½)², (½)³,... De pågældende matematikeres hensigt hermed er åbenbart at vise, at summen af alle disse afstande er lig med hele afstanden, og at gennemløbet af dem dermed fører i mål.

Lad S_n betegne ∑ⁿ_i=0(½)ⁱ, og lad S_∞ betegne grænseværdien af S_n for n gående mod ∞, dvs. for n stigende ubegrænset. Dette udtryk betegner således ikke på nogen bogstavelig måde en summation af uendeligt mange tal.

Generelt siges en funktion f(x) at gå mod grænseværdien b for x gående mod ∞, hvis

"εÎR+: $hÎN: "x: x > h => 0 < |f(x) - b| ≤ ε.

Denne definition kan anvendes på S_n, hvilket betyder, at følgende skal bevises:

"εÎR+: $hÎN: "n: n > h => 0 < |S_n - S_∞| ≤ ε, hvor S_n kan erstattes med ovenstående definition, og S_∞ med et forslag til en grænseværdi, f.eks. værdien 1, hvorefter korrektheden heraf kan bekræftes.

Denne matematiske formalisme løser imidlertid ikke paradokset, da den som lige nævnt ikke handler om nogen sum, men om en grænseværdi, hvilket er noget andet, for i ovenstående definition ligger der blot følgende:

En grænseværdi af en sum af n tal for n gående mod uendelig er ikke en sum af uendeligt mange tal i en eller anden bogstavelig betydning, men er en værdi, som denne sum af n tal kan komme vilkårligt tæt på uden at komme længere væk for noget højere n.

Derfor er tankegangen i ovenstående bevis ikke i modstrid med Zenons beretning, men efterligner den snarere. I såvel beviset som i paradokset kommer vi vilkårlig tæt på en bestemt entitet, men uden at nå det, nemlig henholdsvis det, der konvergeres imod, og målet.

Der er intet paradoksalt i dette. De samme gælder for mange andre funktioner, eksempelvis for funktionen f(x): 1 – 1/x.

Fortolkningen.

Fortolkningen er vigtig og nødvendig, for lige som alle udsagn forudsættes at have semantisk mening, forudsættes de også at have et indhold i form at et budskab.

Det kan indvendes, helt rigtigt, at dikotomiberetningen simpelthen er fortalt således, at den ikke når til ende. Men det er netop beretningens budskab, at det er muligt at beskrive løbet på en denne måde. Thi denne beretning tilsigter at vise, at vi kan komme tættere og tættere på et bestemt fremtidigt tidspunkt uden at nå det, lige som et objekt kan komme tættere på et punkt på en linje uden at nå frem til det:

Det kan også indvendes, at ifølge common sense og vore strukturerede erfaringer kan vi nå frem til et punkt længere henne på en linje i overensstemmelse med ligningen:

s = v * t, hvor s betegner længden af et objekts bevægede strækning, v objektets hastighed, t den forløbne tid for bevægelsen.

Dette er ganske vist baseret på erindrede erfaringer, om at et objekt på et tidspunkt har været på et bestemt sted og senere har været på et andet, dvs. at det er nået frem til dette, målet. Men spørgsmålet er, hvordan denne bevægelse sker.

Vi kan ikke beskrive denne passage punkt for punkt, og heller ikke delinterval efter delinterval. Vi kan kun forestille os, at vi har været på vej fra fortiden og vilkårlig tæt på nuet, men ikke hvordan overgangen til nuet sker, da den sidste del af denne overgang kan opdeles lige som hele passagen kan. Så fortiden er kun noget, vi har diffuse forestillinger om. I nuet er vi derimod allerede i nuet.

Jf. nedenstående links.

Afslutning.

Det er fremgået, at funktionen f(n) = ∑ⁿ_i=0(½)ⁱ, som udtrykker længden af de første n delstrækninger, har grænseværdien 1 for n gående mod ∞, men at den ikke antager værdien 1 for noget n. Selve dette er der intet paradoksalt i.

Det kan indvendes, at dette ikke i praksis har nogen betydning anvendt på opdelingen af en strækning i stykker af længden (½)ⁱ. Dette er dog ikke blot at vælge den lettest gendrivelige fortolkning af paradokset, men også at unddrage sig en forståelse af Zenons beretning. Alternativt kunne man lige så godt hævde, at funktionen s(t) = v * t gradvist antager værdien 1. Men det er netop denne funktions gradvise opnåelse af nogen som helst værdi, Zenon analyserer. Det at s(t) < 1, kan vi kalde at være i fortiden. Den tilstand, at s(t) = 1, kan vi kalde at være i nuet. Overgangen hertil sker ikke for nogen værdi af t i fortiden.

Litteratur.

 [Kirk 83]         G.S. Kirk, J.E. Raven, M. Schofield: The Presocratic Philosophers, 2. ed.,
(Cambridge 1983)

Afhandling Nr. 8:

 http://filosofisk-debat.blogspot.dk/2013/01/afhandling-nr-8.html

”fortsættelsen” Zenons løberparadokser: http://ovemk.blogspot.dk/2015/05/zenons-lberparadokser.html

---

[1] Aristoteles fremfører, at afstand og tid kan kaldes ”uendelig” både med hensyn til delelighed og deres yderste ende, og konkluderer deraf, at målet kan nås på en endelig tid:

“So while a thing in a finite time cannot come in contact with things quantitatively infinite, it can come in contact with things infinite in respect of divisibility: for in this sense the time itself is also infinite: and so we find that the time occupied by the passage over the infinite is not a finite but an infinite time, and the contact with the infinites is made by means of moments not finite but infinite in number. (After Gaye)” ([Kirk 83], p. 270, mine understregninger.)