Denne version er foreløbig
Af Ove
Møbjerg Kristensen.
Indhold
Resumé.
Denne afhandling indeholder let
redigerede uddrag af afhandlingen ”En kritik af W.C. Salmons Zeno’s Paradoxes” ([Kritik af “Zeno’s), der forholder sig til en række
af bidragene til Wesley C. Salmons antologi Zeno’s
Paradoxes ([Salmon
70]). Selv om denne afhandling hovedsagelig resulterede i påpegningen af
disse bidrags misvisende digressioner og øvrige fejl, har selve arbejdet med denne
kritik resulteret i flere overvejelser om Zenons løberparadokser end dem, der allerede
er fremført i Afhandling Nr. 8 ([Afhandling Nr. 8]), hvoraf den
også må forstås som værende en fortsættelse. Disse og kun disse overvejelser
præsenteres i denne artikel.
1. Zenons udfordring.
1.1 Zenons beretninger.
I denne afhandling anvendes
flere gange betegnelsen ”Zenons dikotomiberetning”. Det indgår som en del af dikotomiparadokset:
“... The
first [paradox] asserts the non-existence of motion on the ground that that
which is in locomotion must arrive at the half-way stage before it arrives at
the goal...” (239b11) ([Kirk 83], p. 270, min kantede parentes.)
Zenons dikotomiberetning er simpelthen det sidste udsagn:
“that which
is in locomotion must arrive at the half-way stage before it arrives at the
goal” (239b) ([Kirk 83], p. 270)
Paradokset om Achilleus og
skildpadden, dvs. det paradoks, som Aristoteles kalder “the so-called ‘Achilles’”, (239b14) ([Kirk 83], p. 272),
lyder:
”In a race the quickest runner can never overtake the
slowest, since the pursuer
must first reach the point whence the pursued started, so that the slower must
always hold a lead.” (239b14) ([Kirk 83], p. 272)
2. Zenons opponenter.
Zenons modstandere er common
sense og argumentationsfejl.
2.1 Common sense.
Begrebet common sense er særlig vigtigt i diskussionen af Zenons
paradokser med løbere, da disse forholder sig kritisk til vore uovervejede common sense opfattelser.
Udtrykket common sense betegner vor fælles opfattelse
af den verden, vi er i; det angår dermed den brugbare mening eller betydning af
vor tale. Vore common sense opfattelser er baserede på vore erindringer og på en
model af virkeligheden, som igen er baseret på erindringer. Det at have en common
sense standpunkt består i at opfatte vor tale om denne model bogstaveligt.
Denne opfattelse af tingenes tilstand er ikke nødvendigvis særlig reflekteret,
men indgroet.
En simpel, men relevant bestanddel af en sådan model er
ligningen s = v * t, hvor s = tilbagelagt strækning, v = hastighed, t =
forløbet tid. Ifølge dette vil en løber, der løber med en bestemt hastighed,
løbe en strækning af en bestemt længde på en beregnelig tid.
De må
bemærkes, at eftersom Zenon fremsætter et helt andet udsagn, ville det indebære
en let gendrivelig fortolkning af paradokserne at forudsætte en bogstavelig
opfattelse af dette common sense standpunkt,
på grund af den modsigelse, der derved opstår. Men vi kan naturligvis ikke forudsætte
common sense i diskussionen af Zenons paradokser, da det er
dette grundlag, der kritiseres. Det ville dermed være at ignorere det fremviste
problem. I stedet for skal vi forholde os til det fremførte problem på dets
egne præmisser.
Vi
kan ikke blot diskutere Zenons paradoks på baggrund af en common sense opfattelse af paradokset
af følgende slags: ”Løberen er ved A. Zenon hævder, at løberen ikke kan nå til
B. Men dette kan løberen faktisk gøre af den indlysende grund X”. Dette er
eksemplificeret i afsnitte ”Argumentationsfejl”.
I
stedet for må vi træde et skridt tilbage og overveje, om der kan udledes et
budskab af Zenons beretning, hvad enten dette er i modstrid med vor common sense opfattelse eller ikke.
Dette gøres i afsnittet ”Zenons budskab”.
Det følger af
tidligere afsnit af disse afhandlinger, at filosofisk afklaring vedrører disse
spørgsmål: Hvad er det egentlig, vi har at gøre med, hvad er det, vi
konfronteres med, hvad kan vi højst lægge i vore eksistensudsagn? Dette
indebærer også en granskning af vore common sense antagelser.
Det må bemærkes, at selv om vi synes, at et filosofisk udsagn er urimeligt, må
vi kunne begrunde hvorfor. Dette kan vel at mærke ikke gøres ved såkaldt gode
antagelser.
Overvejelser
over Zenons paradoks resulterer i en opfattelse af tid, rum og bevægelse, som
ikke er i overensstemmelse med en common sense opfattelse
af disse begreber. Det betyder, at så længe Zenons paradokser ikke er
gendrevne, kan vi ikke forudsætte den common sense opfattelse,
disse kritiserer, f.eks. en opfattelse af tid, der ligestiller fortiden med
nuet.
Det er således
forkert at forudsætte en common sense
opfattelse i diskussionen af Zenons beretning. For derved diskuteres
ikke sidstnævnte emne, men en blanding af de to emner, og introducerer allerede
derved en inkonsistens. Derved fejles ved at forudsætte det, som Zenon
betvivler. Men først må vi forstå, dernæst kan vi kritisere.
2,2 Argumentationsfejl.
Derfor er det
både relevant og nyttigt at forholdes sig til følgende argumentationsfejl:
Den let gendrivelige fortolkning består
i ikke at vælge den vanskeligst gendrivelige fortolkning af et udsagn, man vil
gendrive:
Når man kritiserer en argumentation, bør man i sandhedens
interesse ikke vælge den lettest gendrivelige fortolkning af den, men den
vanskeligst gendrivelige fortolkning. Thi når man har gendrevet den lettest
angribelige fortolkning, har man stadigvæk ikke gendrevet den vanskeligst
gendrivelige fortolkning.
Der kan opnås
en vanskeligere gendrivelig fortolkning ved at fjerne kritisable, men
underordnede detaljer i teksten. Denne idé om at gå til selve sagen fører
lettest til den mest frugtbare fortolkning. Thi herved kan vi koncentrere os om
sagen selv og undgå nytteløse spekulationer over, hvad forfatteren mon har
tænkt.
Desuden kan
en lang række nytteløse indvendinger afvises med denne begrundelse.
Det er
indvendt mod Zenons paradokser, at summen af løberens delstrækninger kan
udregnes som grænseværdien af en sumfunktion, og at denne har en endelig værdi,
hvorfor løberen når i mål. Herimod kan det for første fremføres, at denne
definition afbilder Zenons paradoks, som derfor kan fastholdes. For det andet
handler sagen om løberens situation, hvor end han er.
Det er også
indvendt mod paradokserne, at vi har at gøre med minimale afstande, hvilket
implicerer et endeligt antal spring, som derved alle bliver overstået, hvorfor
løberen når i mål. Hertil kan siges, at denne indvending handler om påstande om
en formodet verden i sig selv. Sagen kan overhovedet ikke handle om små
afstande bogstavelig talt, for vi konfronteres ikke med sådanne entiteter, men
kun med vore erfaringer.
At tale om
ikke-observerbare fysiske punkter, der rører ved hinanden, er videnskabelig
realistisk tale. Dette betyder naturligvis ikke, at Zenon er videnskabelig
anti-realist, men blot at hvis vi vil have en brugbar forståelse af Zenons
paradoks, kan denne ikke baseres på videnskabelig realisme, eller andre
forestillinger. Men bidragydernes tale om fysiske punkter angår netop disse
forestillede detaljer. Derfor er det mest fordelagtigt for det filosofiske
resultat at vælge den vanskeligst gendrivelige fortolkning, hvilket betyder, at
vi må opfatte Zenons paradoks som en beretning, der foregår i en matematisk
model.
Det kan
fremføres, at løberen vil nå sit mål, når hans afstand til målet er mindre end
diameteren af et fysisk punkt, hvad det end er. Men netop af denne grund må
paradokset fortolkes mere abstrakt.
Det må
pointeres, at en grænseværdi som begreb
ikke er en sum, men kun en værdi, som opsummeringen kan nå vilkårligt tæt på
uden at komme længere væk den fra senere.
3. Udledningen af Zenons budskab.
3.1 Den abstrakte version af Zenons beretninger.
Naturligvis
behøver Zenons beretninger ikke at blive opfattet bogstaveligt: I stedet for at
handle om to løbere, kunne paradokset handle om f.eks. to rullende køretøjer
med hver sin hastighed, eller det kunne handle om to objekter, som i kraft af
deres inerti kommer farende af sted ude i rummet med hver sin hastighed i
forhold til fiksstjernerne. Dette betyder, at en række indvendinger om fysiske
forhold bortfalder. Vi kan gå endnu et skridt videre og se på en version, der
ikke er baseret på de umiddelbare fænomener, men lader processen foregå i
fantasien. En sådan fortolkning er vanskeligere at gendrive, og kan derfor være
mere givtig.
Således kan
vi nøjes med at tale om, hvad der foregår i en teoretisk model, f.eks. hvor langt
et objekt er nået på bestemte tidspunkter.
Hvis vi vil gendrive Zenons paradoks, skal vi
gendrive udsagnet Z: ”Løberen når ikke i mål efter passagen af nogen strækning”
i beretningen, eller det mere tydelige udsagn ”Der findes ikke nogen strækning,
således at løberen når i mål efter sin passage af den”. Vi skal naturligvis
gendrive den vanskeligst gendrivelige version af sidstnævnte udsagn.
Det højrerekursive dikotomiparadoks kan fortolkes
således: ”Løberen er ved et punkt
B’, hvor han end er, men han kan ikke være kommet dertil fra ”noget som helst sted,
A’, hvor han har været tidligere, uanset hvor tæt A’ end var på B’”.
Det venstrerekursrive dikotomiparadoks siger, at ”Løberen
kan ikke ankomme til noget som helst sted, B’, hvortil han siges at komme, uanset
hvor tæt B’ er på startpunktet A”.
Det må bemærkes, at det, der kan siges om at gennemløbe afstande
og at nå frem til steder, lige såvel kan siges om tidsintervaller og
tidspunkter.
3.2 Zenons budskab.
Zenons dikotomiparadoks
og det om Achilleus, som begge er citerede i underafsnittet afsnittet
”Indledning”, tydeliggør, at vi ikke til fulde forstår, hvad bevægelse er, og
dermed heller ikke hvad tid er. At videnskaben kan beskrive bevægelse ved hjælp
af ligninger, er noget andet. Thi disse kan blot bruges til at beregne
resultater af bestemte handlinger.
Der er
ovenfor argumenteret for, at vi ikke behøver at forstå den iklædning, som Zenon
giver sine beretning, bogstaveligt, men i stedet kan bruge en abstrakte version. Følgende kan endog siges at gælde:
Hvis vi ønsker at få et udbytte af Zenons beretning, må vi i
sidste ende opfatte den som en
matematisk allegori, der foregår i en matematisk verden tilsat tid, og hvori
der er et enentydigt forhold mellem tidspunktet og det sted, løberen passerer.
Zenons
beretning tager ganske vist udgangspunkt
i en common sense opfattelse af tid og rum, men kun for at vise,
at denne opfattelse er utilstrækkelig:
Med udgangspunkt i common sense opfattelsen
af tid udfordrer Zenon os til at forklare, hvordan vi på denne baggrund kan
komme frem til et fremtidigt tidspunkt, og dermed også hvordan vi er kommet
frem til nuet. Vi kunne komme tættere og tættere på nuet, men der forbliver en
uoverstigelig barriere foran os.
Nogle vil måske hævde, at vi naturligvis kommer
frem til nuet i nuet. Men i nuet er vi simpelthen i nuet. Spørgsmålet
er, hvordan det sidste spring skete, eftersom der ikke er nogen principiel
forskel på dette problem for 1 minut siden, for ½ minut siden, for ¼ minut
siden, etc.
Resultatet stemmer overens med følgende opfattelse:
Spørgsmålet om, hvordan de diskuterede punkter (eller
banens delvise strækninger) nås et efter et, handler om vor nutid, hvor dette
opleves.
Derimod angår det faktum, at vi kan se tilbage på en
afsluttet tidsperiode, en fortidsfiktion. Dette stemmer overens med det faktum,
at vore erindringsindtryk udgør
grundlaget for vore fortidsfiktioner og fremtidsfiktioner.
I
disse afhandlinger er en tilsvarende konklusion allerede opnået på to forskellige
måder, nemlig i underafsnittet ”Tid” i Afhandling
Nr. 1 og i afsnittet ”Tidens hastighed” i Afhandling nr. 5. Filosofi handler imidlertid ikke om at samle
point ligesom naturvidenskaberne, f.eks. geologien, der søger efter svar på
spørgsmålet om jordens alder, eller om hvor der kan være vand i undergrunden.
Filosofien handler blandt andet om den semantiske mening af vore
eksistensudsagn, og hvad vi højst kan siges at konfronteres med, versus hvad
der blot er ureflekterede common sense
forestillinger.
3.4 Dualisme.
Dermed har vi
at gøre med en dualisme mellem
fortid og nutid. Vi kan ikke komme fra fortid til nutid, da nutiden er reel,
hvorimod fortiden ikke engang kan siges at være forhenværende nutid, men kun en
konstruktion. Dette ligner realisternes såkaldte sjæl-legeme-dualisme, dvs. dualismen
mellem oplevelse og stof:
Zenon søger med sit paradoks at illustrere, at der ikke er
noget i begrebet tid, der kan føre os frem til et nyt nu. Det har derfor ikke
mening at tale om noget, vi kan kalde tidens gang.
Derfor har
det heller ikke mening at tale om en fortid som noget bogstaveligt eksisterende,
men kun om en fortidsfiktion. Inspireret af Zenons paradoks og af Aristoteles[1] kan
følgende fremføres:
For en tidsenhed siden var tidspunktet i vor fortidsfiktion
en tidsenhed mindre end nu. Da halvdelen af tiden var gået, var tiden en halv
tidsenhed mere og der var en halv tidsenhed til nu. Da halvdelen af den
resterende tid var gået, var tiden en kvart tidsenhed mere, og der var en kvart
tidsenhed tilbage til nu. Etc. Der er derfor intet afgørende sket, hvad angår
selve afslutningen af denne tidsenhed.
Det er
bemærkelsesværdigt, at dualismen mellem nutid og fremtid kan sammenlignes med
dualismen mellem det materielle og vore sanseindtryk. Sidstnævnte dualisme
opstår for de videnskabelige realister, fordi de forudsætter, at vore
sanseindtryk har et materielt grundlag. Ifølge realisterne sætter dette
grundlag en årsagskæde i gang, hidrørende fra det sansede stof, først uden for
vort legeme, dernæst i et sanseorgan, dernæst i vor hjerne, hvor en række materielle processer, dvs. ændringer i
det materielle, til sidst bliver til sanseindtryk i den pågældende persons
bevidsthed. Ifølge den videnskabelige realisme kan videnskaben forklare alle de
første trin; men dens tilhængere kan ikke forklare trinnet fra materie til
sanseindtryk på nogen som helst lignende måde, kun postulere. De sidste
materielle forklaringer kan forfines mere og mere, men det fører os ikke i mål.
Realisternes materielle forklaringer kan endog følges som en linje, der
eventuel deles i flere linjer i den sansende persons hjerne, for til sidst at
ende i det blå uden at komme i nærheden af noget sanseindtryk.
4. Afslutning.
I underafsnittet
”Zenons budskab” er der fremlagt en begrundet fortolkning af Zenons beretning. Det
er ovenfor pointeret, at man må forstå, før man kan kritisere. Så nu, hvor vi
har en begrundet fortolkning, er spørgsmålet ikke blot, hvor god denne fortolkning
er, men om også om den udtrykker noget sandt om verden. Med andre ord, kan vi begrunde, at der findes en dualisme
mellem nuet og fremtiden (eller mellem fortiden og nuet) således som beskrevet?
Det var et resultat af vor fortolkning, at selv om vi kan komme tættere og
tættere på nuet, forbliver der en uoverstigelig barriere foran os.
Det, vi har
at gøre med, er først fænomenerne og dernæst vore egne konstruerede matematiske
modeller forstået som sådanne, og ikke noget løb i alle dets forestillede
detaljer, som om disse havde bogstavelig eksistens. Spørgsmålet er, hvordan
forskellen mellem nutid og fremtid overskrides. Begrebet om virkeligt eksisterende
vilkårligt små størrelser hører ikke engang hjemme i en videnskabelig model. Således
handler sagen om, at uanset hvor tæt, vi forestiller
os, at vi kommer til et bestemt tidspunkt, forbliver der en afstand til
punktet.
I Zenons
paradokser har vi slet ikke at gøre med sådanne entiteter, men kun med en
litterær fiktion:
For overhovedet at være interessant og ikke banal, må
Zenons beretning fortolkes som en fiktion,
der som sådan ikke omhandler fænomenerne, men forgår i en matematisk model, der
er tilføjet et tidsbegreb. Dette understøttes af det faktum, at de små
størrelser, der diskuteres, ifølge sagens natur ikke kan være fænomener, men
kun vore forestillinger.
Zenons dikotomi-paradoks består af et enkelt udsagn. Men
lige som det gælder for litterære fiktioner, kan denne beretning forstås under
overskriften: ”Forestil dig følgende
og kun det, der kan udledes deraf i
den verden, hvori det foregår”. Således er det at tale om ”fysiske punkter” en
digression fra teksten. Denne handler kun om vore forestillinger om det at befinde
sig et bestemt sted nu og ankomme til et andet sted på et senere tidspunkt.
Her følger et
hverdagsagtigt eksempel på dikotomiparadokset: I Albert Camus’ roman L’etranger
er Mersault taget til sin mors begravelse og venter på at møde
alderdomshjemmets forstander. Uden at det hermed er sagt, at det er tilsigtet,
kan Camus’ beskrivelse af ventetiden illustrere Zenons paradoks:
”Comme
il était occupé, j’ai attendu un peu. Pendant tout ce temps, le concierge a
parlé et ensuite, j’ai vu le directeur: il m‘a reçu dans son bureau.” ([Camus
02] p. 11, min understregning.)
Hvornår møder
Mersault forstanderen? ”Derefter”! Dvs. når ventetiden er ophørt. Men denne er alene
ophørt, ved at Mersault møder forstanderen. Der er her intet, der fører frem
til ventetidens ophør: situationen forbliver den samme og den samme... Ventetidens
ophør er et paradoks. I den næste del af teksten er Mersault så at sige nået frem
til målet. Det umulige er her oprindet, men kun i kraft af, at vi har at gøre
med en tekst. I det virkelige liv kan vi i stedet have at gøre med nuet versus vore
erindringsindtryk. Nogle vil indvende, at der samtidigt foregår en række forskellige
handlinger bag forstanderens lukkede dør, som derved udgør et fremadskridende
forløb. Men disse har intet at gøre med Mersaults oplevelser, og de ville i
øvrigt også være underkastet dikotomiparadokset.
Det kan
indvendes, at vi lever og handler i overensstemmelse med vor common sense opfattelse af verden, og at dette foregår uden
problemer. Herimod kan fremføres, at dette blot betyder, at vor common sense opfattelse er konsistent, i det mindst inden for
den ramme, vi handler i: vor horisont. Med andre ord, vor common sense
opfattelse af verden angår netop kun vor common sense opfattelse
af verden. Den når aldrig uden for sig selv.
Vi kan have
en fiktion om fremtiden, men vi oplever ikke nogen fremtid. Derimod kan vi her
og nu have erindringsindtryk af fortidige fiktioner om nuet. Dette foranlediger
ikke nogen modstrid. Det er kun, når vi begynder at overveje nøjere, hvordan vi
når frem til denne fremtid, at vi støder på en modstrid. Dette kan udledes af
Zenons løberparadokser.
Andre afhandlinger.
[Afhandling
Nr. 8] https://antiintroduktionisme.wordpress.com/2015/09/23/anti-introduktionisme-afhandling-nr-8/
[Kritik af
“Zeno’s”] http://filosofisk-debat.blogspot.dk/2014/06/en-kritik-af-wc-salmons-zenos-paradoxes.html
Litteratur.
[Camus 78] Albert
Camus: L’etranger
Gallimard (France 2002).
Gallimard (France 2002).
[Dummett 78] Michael Dummett: Truth and Other Enigmas
Duckworth (London 1978).
Duckworth (London 1978).
[Fraassen
80] Bas C. van Fraassen: The Scientific
Image
Oxford University Press (Oxford 1980)
Oxford University Press (Oxford 1980)
[Kirk
83] G.S. Kirk, J.E. Raven, M. Schofield: The Presocratic Philosophers, 2.
ed.,
(Cambridge 1983)
(Cambridge 1983)
[Salmon 70] Wesley C. Salmon, ed.: Zeno’s Paradoxes
Bobbs-Merrill (Indianapolis & New York, 1970)
Bobbs-Merrill (Indianapolis & New York, 1970)
