Achilleus og skildpadden.

En redegørelse for vor erkendelsesmæssige situation.

Afhandling Nr. 8.

Af Ove Møbjerg Kristensen.

Indholdsfortegnelse.

En redegørelse for vor erkendelsesmæssige situation. 1

Afhandling Nr. 8. 1

Indholdsfortegnelse. 1

Resumé. 2

1. Achilleus og skildpadden. 3

1.1 En beskrivelse af paradokset. 3

1.1.1 En rekursiv beskrivelse af væddeløbet. 4

1.2 Matematiske løsningsforslag. 5

1.2.1 Summation af uendeligt mange værdier. 6

1.2.2 Matematisk grænseværdi. 6

1.3 En ufærdig beretning. 7

1.4 Naturvidenskabelige begrænsninger. 9

1.5 Zenons dikotomiparadoks. 10

1.5.1 Det højrerekursive dikotomiparadoks. 10

1.5.2 Det venstrerekursive dikotomiparadoks. 11

1.6 Aristoteles argumenter. 13

1.7 Resumerende betragtninger. 15

Litteratur. 16

Resumé.

Denne afhandlings emne er at diskutere Zenons paradokser med løbere på grundlag af umiddelbare overvejelser.

Nogle filosoffer opfatter begrebet grænseværdi af en sumfunktion som værende identisk med begrebet om en sum af uendeligt mange tal, for så vidt en sådan summering findes. Det viser sig imidlertid, at løsningen på disse paradokser findes i (1) den måde, hvorpå historien om f.eks. væddeløbet mellem Achilleus og skildpadden er fortalt, som kan gengives rekursivt uden stop. Desuden viser den rette forståelse af uendelighedsbegrebet at opløse et påstået paradoks angående, (2) hvordan man kan have passeret uendeligt mange punkter (i et endeligt tidsrum). Dette svarer til forskellen mellem henholdsvis 1) at være i nutiden og 2) at overveje en fortidskonstruktion.

En senere afhandling omhandler diskussionen i Wesley C. Salmons antologi Zeno’s Paradoxes ([Salmon 70]).

1. Achilleus og skildpadden.

Nogle af Zenon fra Eleas paradokser med løbere kan tilsyneladende løses ved matematisk formalisme, f.eks. det om væddeløbet mellem Achilleus og skildpadden. Men spørgsmålet er, om de handler om den matematiske verden eller den fysiske verden, dvs. den fænomenale, hvori ikke alle de teoretiske begreber nødvendigvis har et direkte modstykke. At naturvidenskabens teorier kan anvendes til forudsigelse af fænomenerne er en anden sag, da dette ikke kræver en analogi mellem den matematiske og den fysiske verden, men blot at teorierne er brugbare, eller empirisk adækvate, således som Bas van Fraassen argumenterer for det i The Scientific Image ([Fraassen 80], p. 12, 18).

1.1 En beskrivelse af paradokset.

I den populariserede udgave af en af Zenons paradokser, Achilleus og skildpadden, skal Achilleus indhente en skildpadde, der har et forspring. Det må bemærkes, at paradokset består af to dele: 1) vor common sense opfattelse af væddeløbet, som er baseret på erindringsindtryk af afsluttede forløb, og 2) Zenons beretning om det.

Ifølge det implicitte ræsonnement i (2) Zenons beretning om løbet vil Achilleus aldrig indhente skildpadden. Ikke desto mindre vil vi hævde, (1) at vi ved, at Achilleus vil indhente skildpadden. Dette er et paradoks vedrørende vor tidsopfattelse. Zenon har naturligvis en pointe her.

ad 1: Zenons ræsonnement kan fremstilles på følgende måde. Lad os antage, at Achilleus løber G gange så hurtigt som skildpadden, og at forspringet er på F længdeenheder. Ifølge principper, der er i overensstemmelse med erfaringen, kan det udregnes, at Achilleus har indhentet skildpadden, når han har løbet strækningen F G/(G - 1).

ad 2: Når Achilleus har løbet F længdeenheder, har skildpadden løbet F/G. Når Achilleus har indhentet dette forspring på F/G, har skildpadden løbet F/G². Når Achilleus har løbet F/G², har skildpadden løbet F/G³. Etc. Skildpadden har efter hvert af disse dele af løbet stadigvæk et forspring (der ganske vist bliver mindre og mindre, men aldrig 0).

Det betyder to ting: 1) Hver gang et af disse stadier er afsluttet, er der endnu et stadium, som Achilleus skal gennemløbe. Dvs. at Achilleus til stadighed er i den samme situation. 2) I en situation, hvor Achilleus har indhentet skildpadden, må han have gennemløbet uendeligt mange stadier. Dette er et andet aspekt af ovenstående paradoks. Det første kan sammenfattes i:

1.1.1 En rekursiv beskrivelse af væddeløbet.

Efter hvert af de beskrevne dele af løbet foreligger der den samme situation, bortset fra at skildpaddens har et forspring på 1/G af, hvad det var ved løbets udgangspunkt.

Vi kan kalde længden af strækningen hen til skildpaddens udgangspunkt for d og forholdet mellem Achilleus hastighed og skildpaddens for g. Væddeløbet mellem Achilleus og skildpadden kan da beskrives ved en beretning, B(d).

B(d): ”Achilleus indhenter skildpadden, der har et forspring på d”.

Denne beretning har følgende rekursive form, hvor udtrykket L(s) betyder ”Achilleus løber strækningen s”:

B(d) -> L(d) + B(d/g).

Hvis forspringet ved løbets begyndelse var F, og forholdet mellem hastighederne g = G, kan hele beretningen udtrykkes med:

B(F).

Hvis denne beskrivelse opfattes som en ren matematisk beskrivelse, er situationen efter hvert trin helt den samme som ved starten af forløbet. For der findes ikke absolutte længder på linjen i geometrien. Ifølge denne matematiske beskrivelse foreligger der dermed ingen som helst ændringer, der implicerer, at løbet vil stoppe.

Af ovenstående beskrivelse fås således:

B(F)    -> L(F) + B(F/G).

B(F/G)  -> L(F) + L(F/G) + B(F/G²).

B(F/G²) -> L(F) + L(F/G) + L(F/G²) + B(F/G³).

B(F/G³) -> L(F) + L(F/G) + L(F/G²) + L(F/G³) + B(F/G⁴).

Denne rekursive beskrivelse kan sammenlignes med en rekursiv beskrivelse, der indeholder et ikke-rekursivt tilfælde, som endog bliver opfyldt og dermed afslutter beskrivelsen.

Lad ”Løb(N)” betyde: Løberen løber de resterende N/M af strækningen og lad L(M) betyde ”Løberen løber en 1/M af hele strækningen”. Løbet kan da beskrives ved disse rekursive definitioner:

Løb(0).

Løb(N) -> L(M) + Løb(N-1).

Løbet kan da beskrives således:

Løb(M).

Eksempel. M=3:

Løb(3) -> L(M) + Løb(3-1).

Løb(2) -> L(M) + Løb(2-1).

Løb(1) -> L(M) + Løb(1-1).

Løb(0).

1.2 Matematiske løsningsforslag.

I dette underafsnit ses på to matematiske løsningsforslag, der er baserede på matematisk formalisme for såkaldt summation af uendeligt mange værdier. Der viser sig, at ingen af disse forsøg på at løse paradokset lykkes. Det første forsøg, som består i en simpel udregning, er cirkulært, mens det andet ikke kan godtgøre, at det, der foregår i beskrivelsen af væddeløbet mellem Achilleus og skildpadden, fører til an afslutning.

1.2.1 Summation af uendeligt mange værdier.

Vi kan forsøge at få paradokset til handle om en summation S_∞ af samtlige stadier, indtil Achilleus ifølge common sense opfattelsen har indhentet skildpadden[1]:

S_∞ = F ∑^∞_i=1 G^-i+1

Heraf fås:

S_∞ = F +F ∑^∞_i=2 G^-i+1

S_∞ G = F G + F ∑^∞_i=2 G^-i+2

S_∞ G = F G + F ∑^∞_i=1 G^-i+1

Herved fås følgende udregning af summationen:

S_∞ G = F G + S_∞

S_∞ = F G/(G – 1)

Denne regning med en tænkt summation af uendeligt mange tal forudsætter imidlertid, at summationen kan gennemføres, dvs. at paradokset er løst. Forstået som et løsningsforsøg på paradokset er dette forsøg dermed cirkulært. Cirkulariteten begås i den linje, hvor summationen substitueres med S_∞, idet der ved denne substitution forudsættes, at summationen forstået som en summation af uendeligt mange tal kan gennemføres – og at den har semantisk mening.

1.2.2 Matematisk grænseværdi.

I matematikken betegner summationssymbolet og dets parametre grænseværdien af S_n for n gående mod ∞, dvs. for n stigende ubegrænset. Det betegner således ikke på nogen bogstavelig måde en summation af uendeligt mange tal.

Mere specifikt siges en funktion f(x) at gå mod grænseværdien b for x gående mod ∞, hvis

"εÎR+: $hÎN: "x: x > h => 0 < |f(x) - b| ≤ ε.

Denne definition kan anvendes på

S_n = F ∑ⁿ_i=0 G^-i.

Dette betyder, at følgende skal bevises:

"εÎR+: $hÎN: "n: n > h => 0 < |S_n - S_∞| ≤ ε, hvor S_n og S_∞ kan erstattes med udtrykkene i ovenstående underafsnit, hvorefter korrektheden heraf kan bekræftes.

Denne matematiske formalisme løser imidlertid ikke paradokset, da den som lige nævnt ikke handler om nogen sum, men om noget andet, for i ovenstående definition ligger der blot følgende:

En grænseværdi af en sum af n tal for n gående mod uendelig er ikke en sum af uendeligt mange tal i en eller anden bogstavelig betydning, men er en værdi, som denne sum af n tal kan komme vilkårligt tæt på uden at komme længere væk for noget højere n.

Vor tale om uendeligt mange elementer i en bestemt mængde, betyder ikke, at mængden indeholder et antal elementer, som vi kan kalde ”uendelig”, omtrent ligesom når vi taler om, at der er 1017 elementer i en mængde, men at mængden af disse elementer ikke har nogen afslutning, dvs. at vi kan blive ved med at udpege nye elementer i mængden. Her har vi en ordnet mængde af uendeligt mange intervaller på et linjestykke, hvilket vil sige, at vi kan blive ved med at pege på nye, stadig mindre intervaller, endog efterfølgende i ordningen. Ovenstående bevis er ikke i modstrid med Zenons beretning, men efterligner den snarere.

Endelig må det bemærkes at definitionen ovenfor kun betyder at S_n kommer relativt nærmere til S_∞, men ikke absolut nærmere, da der ikke findes absolutte længder i geometrien. Det er endog sådan, at opdelingen af linjen fra S_n+1 til S_∞ er isomorf med opdelingen fra S_n til S_∞. Så meget desto mere ændres løberens situation ikke.

1.3 En ufærdig beretning.

Det følgende løsningsforsøg er inspireret af det faktum, at hvis Achilleus’ hastighed er v, er summen af de første n løbede tidsintervaller S_n/v. Nummer n af disse tidsintervaller har varigheden F/(G^n-1 v). Dette leder til den løsning på paradokset om Achilleus og skildpadden, at ovenstående fortælling derom efter hvert af sine trin kun har omhandlet et begrænset tidsrum og ikke hele løbet.[2] Den omhandler dermed kun, hvad der foregår indenfor en sum af tidsintervaller, der hver for sig er blevet stadigt mindre indtil et eller andet tidspunkt før og vilkårligt tæt på det punkt, hvor vi ville forvente, at Achilleus indhenter skildpadden:

Det er ikke væddeløbet, der aldrig bliver færdigt, men selve beretningen om væddeløbet, der er fremlagt således, at den aldrig bliver færdig, og derfor omhandler den selvsagt ikke hele fiktionen om væddeløbet. Det, der er tilfældet, er derfor, at Achilleus ikke indhenter skildpadden inden for det tidsrum, som beretningen formodes at omhandle. Grunden hertil er, at beretningen har den ovenfor beskrevne rekursive form.

Vi kan forestille os, at vi lige har overværet væddeløbet mellem Achilleus og skildpadden og set Achilleus indhente skildpadden. Ikke desto mindre kan vi efterfølgende begynde at berette om væddeløbet på følgende måde, der aldrig kan få ende:

Skildpadden startede med et forspring af størrelsen F. Achilleus løb G gange så hurtigt som skildpadden. Først nåede Achilleus hen til det sted, hvorfra skildpadden startede. På det tidspunkt havde skildpadden bevæget sig en strækning af længden F/G. Dernæst nåede Achilleus hen til det sted, hvorfra skildpadden var efter den første etape. Etc.

At denne beretning aldrig kan slutte, skyldes som nævnt, at den er fortalt på en sådan måde, at summen af disse tidsintervaller på intet tidspunkt overstiger løbets varighed.

Men den er også fortalt på en måde, der tydeliggør, at Achilleus situation principielt er uændret for hvert stadium.

Betyder dette, at paradokset er løst? Det kan fremføres, at beretningen om væddeløbet blot udpeger en række punkter ét efter ét på den tidsakse, som denne fortidsfiktion kan tilknyttes. Dette sker efter en bestemt algoritme som er defineret af beretningen. Der er intet paradoksalt i, at lige som vi ikke kan afslutte mange andre algoritmer, bliver vi heller ikke færdige med denne algoritme. Faktisk kan der både fremsættes og kombineres mange algoritmer for opdeling af et linjestykke eller en væddeløbsbane i intervaller, endog med mere end ét fortætningspunkt. Det kan også fremføres, at disse naturligvis kan passeres, og at de blot udgør om en tankemæssig konstruktion, der som sådan ikke har noget med løbet at gøre. Men at se på paradokset på denne måde er at ignorere Zenons budskab.

1.4 Naturvidenskabelige begrænsninger.

Efter denne gennemgang er naturvidenskabelige betragtninger vedrørende paradokset egentlig irrelevant. Dette skal dog ikke hindre os dog i at se på et naturvidenskabeligt baseret forslag til en løsning på det problem, som beretningen åbenbart implicerer, nemlig at Achilleus kun kommer vilkårlig tæt på skildpadden, men aldrig indhenter den. Forslaget er baseret på den idé, at de matematiske afstande kan være ubetydelige ifølge de naturvidenskabelige teorier. Om den fysiske virkelighed ville man således hævde, at når forskellen i position ikke kan måles af den ene eller anden grund, er Achilleus og skildpadden nået til det samme sted på væddeløbsbanen. Ifølge dette ville væddeløbet simpelthen være afsluttet, når afstanden mellem de to konkurrenter er mindre end en bestemt størrelse. På sine egne præmisser forklarer dette forslag dog ikke det faktum, at Achilleus ikke blot indhenter skildpadden, men også løber forbi skildpadden, dvs. også med en længde på et halvt punkt.

Nedenfor forklares, at dette løsningsforslag ikke går ind på Zenons præmisser, men blot er en afvisning af paradokset. Dette diskuteres også i en senere afhandling.

Zenons beretning kan ikke fuldt ud handle om den fysiske verden, for det er et spørgsmål, hvilke to fysiske punkter på skildpadden og Achilleus der skal sammenlignes under væddeløbet, især når nu de bevæger sig. Hvis vi også inddrager Achilleus skridt og bevægelser, når vi taler om minimale afstande, bliver diskussionen ubegrænset kompleks. Vi må derfor opfatte løbet som omhandlende to punkter A og B, som bevæger sig hen ad en linje. At indblande fysiske tilfældigheder i paradokset er ikke at se på det principielle i det. På den anden side skal de matematiske definitioner forstås rigtigt og deres betegnelser skal ikke tages for bogstaveligt.

1.5 Zenons dikotomiparadoks.

I The Presocratic Philosophers fremføres om “Zeno’s arguments about motion ...”:

“The first asserts the non-existence of motion on the ground that that which is in locomotion must arrive at the half-way stage before it arrives at the goal…” ([Kirk 1983] p. 270)

Dette argument kan på grund af sin korte form fortolkes på to måder. (Jf. [Kirk 1983] p. 270.)

1.5.1 Det højrerekursive dikotomiparadoks.

Den ene fortolkning minder om paradokset om Achilleus og skildpadden - og er højrerekursiv lige som dette paradoks:

For at nå sit mål må en løber først løbe halvvejen til målet, derefter halvvejen af resten, etc.

Lad os forudsætte, at målet er punktet 1 på x-aksen, og definere sagnet L(s).

L(s): ”Løberen løber en strækning af længde s”.

Vi kan da definere en rekursiv beretning C(d) om, hvordan løberen løber fra punktet d til punktet 1:

C(d) -> L((1-d)/2) + C((1+d)/2).

Hele beretningen kan dermed udtrykkes ved:

C(0).

De første fire trin har følgende form:

1: C(0)   -> L(1/2) + C(1/2).

2: C(1/2) -> L(1/4) + C(3/4).

3: C(3/4) -> L(1/8) + C(7/8).

4: C(7/8) -> L(1/16) + C(15/16).

Dette giver følgende sammensatte resultat:

1-4: C(0) -> L(1/2) + L(1/4) + L(1/8) + L(1/16) + C(15/16).

Beretningen er analog med den om Achilleus og skildpadden. Således er situationen efter ethvert stadium i denne beretning den samme som før stadiet. Thi den resterende beretning handler stadigvæk om, at løberen løber en strækning, som kan beskrives på samme måde som før stadiet, bortset fra at dens længde her halveres for hvert stadium. Der er altså igen tale om en beretning, der i kraft af sin form aldrig bliver færdig. Desuden må det bemærkes, at akkurat lige som det var tilfældet for paradokset med Achilleus og skildpadden, er der efter hvert stadium ikke sket en reel ændring, da der ikke findes absolutte længder i det matematiske univers.

Vi kan forestille os, at vi lige har overværet løberen løbe en strækning på 1 længdeenhed. Ikke desto mindre kan vi begynde at berette om løbet på følgende tilbageskuende måde, der aldrig når til en afslutning:

Løberen startede ved punkt 0. Først nåede han til strækningens midtpunkt. Dernæst nåede han til midtpunktet af den sidste del. Osv.

At denne beretning aldrig får ende, skyldes som lige nævnt, at den er fortalt på en sådan måde, at summen af disse tidsintervaller på intet tidspunkt overstiger løbets varighed, og ikke mindst at løberens situation forbliver principielt uændret.

1.5.2 Det venstrerekursive dikotomiparadoks.

Dens anden fortolkning af paradokset er venstrerekursiv og kan gengives således:

For at nå til et punkt P halvvejs før sit mål, må en løber først løbe til et punkt halvvejs før punktet P, etc.

Lad os forudsættes, at målet er punktet 1 på x-aksen, og definere udsagnet L(s):

L(s): ”Løberen løber en strækningen af længde s”.

Vi kan da definere en rekursiv beretning D(d) om, hvordan løberen løber fra punktet 0 til punktet d:

D(d) -> D(d/2) + L(d/2).

Ved hjælp heraf kan den samlede beretning udtrykkes ved:

D(1).

De første fire trin har følgende form:

1: D(1)   -> D(1/2) + L(1/2).

2: D(1/2) -> D(1/4) + L(1/4).

3: D(1/4) -> D(1/8) + L(1/8).

4: D(1/8) -> D(1/16) + L(1/16).

Dette giver følgende sammensatte resultat:

1-4: D(1) -> D(1/16) + L(1/16) + L(1/8)+ L(1/4)+ L(1/2).

Herved er det illustreret, at beretningen D om hele løbet skal afsluttes, før beretningen om løbet af de enkelte stadier kan komme i gang. Dette faktum er allerede givet ved venstrerekursiviteten. Beretningen D kommer derfor overhovedet ikke til eksplicit at omtale eller omhandle løbets start på noget af sine trin. Denne version er tilbageskuende, og betragtet på denne måde er den analog med den første version.

Vi kan atter forestille os, at vi lige har overværet løberen løbe en strækning på 1 længdeenhed. Ikke desto mindre kan vi begynde at berette om løbet på en måde, der aldrig får ende:

Løberen startede ved punkt 0. Før han nåede frem til strækningens midtpunkt, måtte han løbe halvvejs til dette punkt. Før han nåede frem til sidstnævnte punkt måtte han nå halvvejs dertil. Osv.

1.6 Aristoteles argumenter.

Aristoteles fremfører, at længde og tid kan kaldes ”uendelig” både med hensyn til delelighed og deres yderste ende, og konkluderer deraf:

“So while a thing in a finite time cannot come in contact with things quantitatively infinite, it can come in contact with things infinite in respect of divisibility: for in this sense the time itself is also infinite: and so we find that the time occupied by the passage over the infinite is not a finite but an infinite time, and the contact with the infinites is made by means of moments not finite but infinite in number. (After Gaye)” ([Kirk 70], p. 270)

Aristoteles har naturligvis en pointe i at sige, at et linjestykke både kan være 1) uendelig lang og 2) uendelig delelig, dvs. også hvis dens længde er endelig, således som Zenon demonstrerer. Desuden er det klart, at der om en løbers gennemløb af et linjestykke kan siges det samme om delingen af den tid, løbet varer, som om delingen af det linjestykke, der gennemløbes. For passagen af linjestykket og tidens gang følges ad. Det betyder imidlertid, at Aristoteles med sin påpegning ovenfor ikke løser paradokset, men blot viser to sider af det.

Således kan vi atter se på situationen, hvor en løber er nået frem til sit mål. Dette er et paradoks, da det er umuligt for ham ifølge Zenons beretning. Thi for at nå frem til det måtte løberen først nå halvvejs, og for at nå til det punkt måtte han nå halvdelen af denne distance, etc. Men hvis løberens hastighed var h, nåede løberen halvvejs til tiden (1/2)/h, han nåede en fjerdel af turen efter tiden (1/4)/h, etc.

Der er åbenbart ingen ende på de relaterede problemer, man kan komme i tanke om, i forbindelse med de tre diskuterede paradokser. Ifølge The Presocratic Philosophers kan der af Aristoteles’ diskussion uddrages følgende venstrerekursive ræsonnement:

“(1) To reach his goal a runner must touch infinitely many points ordered in the sequence 1/2, 1/4, 1/8, ...

(2) It is impossible to touch infinitely many points in a finite time.

So

(3) the runner cannot reach his goal.” ([Kirk 70], p. 270)

Ifølge Aristoteles argumentation ovenfor er det muligt at passere uendelig mange punkter i en endelig tid, hvorfor (2) er falsk. Men da dette argument handler om et overskuet tidsrum (dvs. afsluttet eller fremtidigt), handler det ikke om løberens situation, som er i nuet. Derfor løser påvisningen af, at (2) er falsk ikke paradokset, men illustrerer det kun det ene aspekt af det.

Aristoteles fremfører, at dette argument forudsætter, at de enkelte afsnit kun eksisterer potentielt. Men denne betingelse vil Aristoteles diskutere:

”... when someone asks the question whether it is possible to traverse infinite things - either in time or in distance - we must reply that in a way it is but in a way it is not. For if they exist actually it is not possible, but if potentially, it is; for someone in continuous movement has traversed infinite things incidentally, ...” ([Kirk 70], p. 271)

Det er sandt at det sidste gælder for f.eks. den tilbageskuende beskrivelse. Spørgsmålet er, hvad det ville sige, at intervallerne skulle eksistere aktuelt, dvs. som intervaller. Svaret er, at dette er tilfældet for det enkelte interval, når det bliver udpeget, hvilket det er i nuet. Det er netop udpegede intervaller, vi har at gøre med dem i den rekursive udlægning af Zenons beskrivelse. Det er sandt, at ifølge denne venstrerekursive beretning har løbet ingen begyndelse, lige som det ingen afslutning har ifølge den højrerekursive.

Det må bemærkes, at det ikke kan være tilfældet, at intervallerne alle sammen eksisterer aktuelt som noget forskelligt fra det at eksistere potentielt. For vi kan ikke udpege dem alle sammen på gang.

1.7 Resumerende betragtninger.

Da det er enklere at kommentere den højrerekusive beretning C, ovenfor, skal en afsluttende kommentar handle om denne beretning. Vi kan forestille os, at vi er en situation, hvor en løber er nået i mål, og vi kan da spørge om, hvordan løberen har kunnet passere uendeligt mange strækninger af længderne (½)ⁿ. At der er uendeligt mange strækninger af denne slags før målet i punkt 1, betyder blot, at for enhver sådan trækning, vi kan udpege, kan vi udpege en strækning mere. At løberen har løbet uendeligt mange af den slags strækninger før punktet 1, betyder dermed blot, at for hver strækning af den slags, vi ved at løberen har løbet, kan vi pege på endnu en strækning, som løberen har løbet, længere henne på banen. Til hvert n svarer der intervallet fra 1-(½)^n-1 til 1-(½)ⁿ. Løberen rører på denne måde uendeligt mange punkter indenfor en endelig tid: der er ingen ende på mængden af de punkter, han rører ved indenfor en endelig tid.

Det kan konstateres at Zenons beretning om løbet handler om nutiden, dvs. løberens situation, mens de tilbageskuende forklaringer handler om fortidsfiktioner: Vi kan ikke forklare tidens gang. Vi kan kun forklare, hvordan det er at være i nutiden og se på en fortidskonstruktion, som her, og på en fremtidsfiktion.

Som tidligere berørt kan vi ganske vist forestille os, at en person indvender: ”For lidt siden sad du og talte mig. Det var både virkeligt og nutid dengang. Nu er det fortid. Dette beviser, at tiden går.”[3] Dette argument illustrerer imidlertid kun det faktum, at vi har erindringsindtryk, og at den pågældende er i gang med at indplacere dem i en fortidskonstruktion. Et uløst filosofisk problem kan naturligvis ikke løses med utilstrækkelige forklaringer. Det må hellere forblive uløst lige nu, kun belyst.

Litteratur.

[Fraassen 80]      Bas C. van Fraassen: The Scientific Image
Oxford University Press (Oxford 1980)

[Kirk 83]          G.S. Kirk, J.E. Raven, M. Schofield: The Presocratic Philosophers, 2. ed.,
(Cambridge 1983)

[Salmon 70]        Wesley C. Salmon, ed.: Zeno’s Paradoxes
Bobbs-Merrill (Indianapolis & New York, 1970)

---

[1] Jeg har set denne argumentation et sted, men har ikke været i stand til at genfinde den.

[2] Her skylder jeg at henvise til Aristoteles, som diskuterer dette emne i ([Kirk 70], p. 270). Emnet behandles i underafsnittet ”Resumerende betragtninger”.

[3] Jf. underafsnittet ”Nutid og fortid og fortids fremtid” i Afhandling Nr. 1.

Ignosticisme og semantisk mening.

Indlægget ”Præsupponeringer i religion og realismedebatten” påpegede blandt andet det fejlagtige i at definere ateisme som det modsatte af teisme. Der kan ganske vist fremføres følgende mere brede definition af ateisme: ”Det at være ateist er det samme som ikke at være teist”. Jf. hjemmesiden [Skepticisme], ifølge hvilken ateisme er fraværet af gudetro. Denne definition kræver imidlertid en del velvilje, eftersom det ikke er alle, der ikke er teister, der kan acceptere den; og det har de gode grunde til. Der kan nemlig argumenteres for, at religiøse sætninger er semantisk meningsløse tegnfølger, idet f.eks. tegnfølger som ”gud” og ”tro” anvendt i religiøse sammenhænge mangler ordmening, og da definitionen af teisme er baseret på sådanne tegnfølger. De, der har indset dette, kan hverken kaldes teister eller ateister. Thi man kan hverken benægte eller bekræfte en sætning, der er semantisk meningsløs, men kun hævde og begrunde, at den er semantisk meningsløs. Dette vil nogle måske kalde agnosticisme, men for det første har denne betegnelse heller ikke semantisk mening. For det andet må det bemærkes, at det er et stærkere udsagn at hævde, at en sætning er semantisk meningsløs, end at hævde, at den er sand, eller at den er falsk, simpelthen fordi den ikke engang kvalificerer sig til at være dette. Jf. afsnittet ”Semantisk kritik af religiøse tegnfølger” i Afhandling Nr. 5 ([Afhandling Nr. 5]), hvori der er argumenteret for, at religiøse sætninger mangler ordmening og derfor er semantisk meningsløse.

Ignosticisme.

Standpunktet ignosticisme eller igteisme er tilsyneladende i overensstemmelse med disse modargumenter, men er alt for uklar, da det også antyder en vis accept.

Ifølge wiktionary.org er etymologien for ordet ”ignosticisme”:

”ig- (fra ignorant) + gnostisk + -ism.” ([Etymology], min oversættelse.)

Jeg vil her nøjes med at forholde mig til definitionen af ignosticisme, således som den er formuleret i Wikipedias engelske udgave, samt nogle resumerende bemærkninger deri.

Wikipedia fremfører to definitioner på ignosticisme. Ifølge den første er ignosticisme:

”Den opfattelse, at der må fremføres en sammenhængende definition af Gud, før spørgsmålet om eksistensen af gud meningsfuldt kan diskuteres.” ([Ignosticism], min oversættelse.)

Dette svarer for så vidt til, hvad der er fremført i ovennævnte afsnit ”Semantisk kritik af religiøse tegnføler”, dog først efter en nødvendig korrektion. Thi for ikke at være semantisk fejlfyldt burde der stå:

”Den opfattelse, at der må fremføres en sammenhængende definition af termen ”Gud”, før udsagnet ”Gud eksisterer” meningsfuldt kan diskuteres.” ([Ignosticism], mine fremhævelseraf ændringerne.)

I dette netop refererede afsnit fra [Afhandling Nr. 5] er der imidlertid også argumenteret for, at en sådan semantisk mening rent faktisk ikke kan etableres, idet flere muligheder blev gennemgået og kritiseret.

I samme leksikonartikel fremføres også:

’Emnet kan præciseres på følgende simplificerede måde ”En ateist ville sige ’Jeg tror ikke, gud eksisterer’; en agnostiker ville sige ’Jeg ved ikke, om Gud eksisterer’; og en ignostiker ville sige ’Jeg ved ikke, hvad du mener, når du siger ”Gud eksisterer”’.”’ ([Ignosticism]. min oversættelse)

Hertil må bemærkes, at det er misvisende at sætte sidstnævnte holdning på lige fod eller på linje med ateisme og agnosticisme. Disse to indstillinger til religion er på lige fod med hinanden og teisme, idet de alle forudsætter, at de ovenfor nævnte sætninger, som deres tilhængere formodes at ville fremføre, har semantisk mening og ikke blot låner et skin af semantisk mening fra faktiske ord. Ignosticisme i sin bedste udformning er derimod blot en følge af den helt elementære sandhed, at alle sætninger skal have en afklaret mening for at kunne diskuteres.

Men først og fremmest vender citatet simpelthen sagen på hovedet. Det er ikke de personer, der kan argumentere for religionernes semantiske meningsløshed, der er uvidende. For det er de religiøse, der skal kunne forklare deres egne putative begreber, før betegnelserne for dem kan tilskrives semantisk mening. Så længe de religiøse ikke kan dette, er det dem, der er uvidende om, hvad det er for nogle diffuse forestillinger, de selv har. I ovennævnte afsnit ”Semantisk kritik af religiøse tegnfølger” er dette gennemgået og begrundet i flere henseender og med stadig stigende imødekommenhed.

Det er her tale om samme slags misbrug af ordet ”uvidende” som at kalde en person uvidende, hvis han ikke ved, hvor hans nabo plejer at opbevare sin værktøjskasse.

Ifølge leksikonartiklens anden definition er ignosticisme synonym med teologisk nonkognitivisme.

Teologisk nonkognitivisme.

Denne defineres på følgende made:

’Teologisk nonkognitivisme er det argument, at religiøst sprog, og specielt ord som ”Gud”, ikke er kognitivt meningsfuldt. Det betragtes nogle gange som synonymt med ignosticisme.’ ([Theological noncognitivism], min oversættelse)

Dette er imidlertid et alt for svagt udsagn, da begrebet om kognitiv meningsfuldhed indebærer, at det diskuterede skal være afgørbart, enten analytisk eller empirisk. Men religiøse sætninger er ikke semantisk meningsfulde, og kvalificerer sig derfor ikke engang til at blive genstand for en analytisk eller empirisk undersøgelse.

Leksikonartiklen konkluderer:

”Lige som det gælder for ignosticisme, afventer den konsistente tilhænger af teologisk nonkognitivisme en sammenhængende definition af ordet Gud (eller af enhver anden metafysisk ytring, der påstås at være diskuterbar), før han kan engagere sig i argumenter for eller imod Guds eksistens.” ([Theological noncognitivism], min oversættelse.)

Ganske vist kan man kun udtale sig om sætninger, der indeholder lutter afklarede begreber, således at de faktisk er udsagn. Men det er misvisende at kalde dette at være afventende. Der er blot tale om at stille det elementær krav, som enhver sætning må opfylde, for at den kan være et udsagn, der kan tages stilling til. Det citerede er derimod selv semantisk meningsløst, da det indeholder en uafklaret tegnfølge. Vi vil heller ikke sige, at ”Før det kan afgøres, om Kryxir findes, må det afgøres, hvad ’Kryxir’ betegner”, som om det er givet, at ”Kryxir” betegner noget, som vi blot ikke endnu har afklaret. Der er ikke tale om en foreliggende, men uafklaret mening, som vi blot venter på. Både dem, der hævder ”Gud findes”, og dem, der hævder ”Kryxir findes”, må simpelthen forventes at have en forklaring parat, dvs. at vide, hvad de selv siger.

Litteratur:

[Afhandling Nr. 5]: http://filosofisk-debat.blogspot.dk/2013/01/resume.html eller i http://sites.google.com/site/antiintroduktionisme/afhandlinger---nye-versioner

eller i http://sites.google.com/site/antiintroduktionisme/afhandlinger---nye-versioner.

[Etymologi]: http://en.wiktionary.org/wiki/ignosticism.

[Ignosticism]: http://en.wikipedia.org/wiki/Ignosticism.

[Skepticisme]: http://www.skepticisme.dk/2008/12/hvis-man-ikke-er-teist-s-er-man-ateist.html.

[Theological noncognitivism]: http://en.wikipedia.org/wiki/Theological_noncognitivism.

Præsupponeringer i religion og realismedebatten.

Det velkendte, drilagtige spørgsmål ”Slår du stadigvæk din kone” præsupponerer sandheden af mindst to antagelser (dvs. forudsætter dem af forskellige semantiske grunde): at den adspurgte har en kone, og at han har slået hende. Hvis dette ikke er tilfældet, kan den adspurgte hverken besvare spørgsmålet bekræftende eller benægtende uden at indrømme det præsupponerede. I stedet må han svare f.eks. ”Jeg har faktisk aldrig slået min kone”.

Dette folkelige eksempel falder ind under H. P. Grices overvejelser om kommunikation i artiklen “Logic and conversation”. Et af Grices resultater er, at den vellykkede kommunikation omfatter, netop hvad der er nødvendigt for at formidle det tilsigtede budskab. 

Imidlertid er der ét bestemt, overordnet, forhold som ethvert udsagn præsupponerer, nemlig at udsagnet har semantisk mening, specielt at de enkelte ord har ordmening. Dernæst præsupponerer det, at samtalepartneren kan acceptere det indeholdte begrebssæt. Det tilsvarende gælder naturligvis for spørgsmål, mutatis mutandis.

Det må også bemærkes, at når en sætning kan erklæres semantisk meningsløs, kvalificerer den sig ikke til at blive modbevist, hverken empirisk eller rationelt. For den har ikke noget semantisk indhold.

Af eksempler på tegnfølger, der måske nok har semantisk mening, men som nogle ikke vil godtage af specifikke grunde, kan være ordet ”starthjælp” eller metaforisk brug af ordet ”smagsdommer”, hvis det første anvendes som en slags nysprog om nedsatte sociale ydelser, og det andet om folk, der har sat sig ind i et fagområde.

Det må bemærkes, at hvis man skal forklare, hvad noget, dvs. et eller andet X, er, kan man ikke nøjes med at sige ”X er noget, der har de og de egenskaber” eller ”X er det, som er sådan og sådan”, medmindre der i den definerende ledsætning indgår det begreb, der skulle være udgangspunktet for definitionen, hvilket dog ville gøre sætningen unødvendig klodset. (Det klodsede kunne f.eks. bestå i at sige: ”Et bord er noget, der er et møbel, der...”.) I stedet må man bruge skemaet ”X er en/et Y, der har de og de egenskaber”. F.eks. kan man sige ”Et bord er et møbel, der...” eller ”Et bord er en fysisk genstand, der...”. Vi kan altså kun definere noget ud fra allerede afklarede begreber.

Religion.

Et sørgeligt eksempel herpå udgøres af spørgsmålet ”Tror du gud?”, som forudsætter, at det består af ord, specielt at tegnfølgerne ”tror” og ”Gud” er ord. I afsnittet ”Semantisk kritik af religiøse tegnfølger” i Afhandling Del V er det godtgjort, at dette overhovedet ikke er tilfældet, men at disse tegnfølger blot låner et skin af semantisk mening fra anvendelser, hvori de faktisk har semantisk mening og dermed er ord. Derfor kan man hverken svare bekræftende eller benægtende på dette spørgsmål uden at acceptere, at de to nævnte tegnfølger ”tror” og ”Gud” har semantisk mening. Begreberne teist, agnostiker og ateist præsupponerer ligeledes for meget, hvis vi eksempelvis definerer en teist som en person, der hævder ”Jeg tror på Gud”. Man kan derfor heller ikke besvare spørgsmålet ”Er du ateist?” uden at acceptere de religiøses putative begreber. I stedet er der kun at sige, at ateisterne ikke har forstået de religiøses fejltagelse, og at forklare denne, således som det er gjort i ovennævnte afhandling.

Af ovenstående argumenter kan det konkluderes, at når A. J. Ayer i Language, Truth and Logic fremfører et stringent rationelt bevis mod en putativ guds eksistens, er det overflødigt. For der er hverken noget at bevise eller modbevise.

Ayer når ganske vist også frem til at hævde, at ateisterne ikke er kritiske nok. Men hans begrundelse er, at de accepterer udsagn som 'There is no transcendent god', der er ”nonsensical”, fordi de er metafysiske og derfor hverken sande eller falske. Det må således bemærkes, at når Ayer taler om, at ”the term ’God’” er en metafysisk term, så tillægger han fejlagtigt tegnfølgen ”gud” semantisk mening. Men som nævnt er det allerede denne manglende ordmening, der gør de religiøse sætninger semantisk meningsløse.

Realismedebatten.

I sin afhandling Reality Lost and Found” hævder Søren Harnow Klausen:

“Since antirealism is the denial of realism, the definition of this term becomes absolutely crucial”. ([Klausen 04] p. 13)

Men præmissen om anti-realisme præsupponerer, at anti-realisten kan acceptere de begreber, der indgår i denne definition, hvilket slet ikke behøver at være tilfældet. Det er lige så forkert at hævde, at anti-realisme er det modsatte af realisme, som det er at hævde, at ateisme er det modsatte af teisme – af tilsvarende grunde.

SHK giver følgende definition af realisme:

“Realism about the external world is the view that the world exists...”, og at dens fundamentale egenskaber er uafhængigt af, hvordan den erfares og udlægges af bevidste væsener. ([Klausen 04] p. 13-14)

Men hvad det vil sige, at verden eksisterer, tematiserer SHK ikke. I stedet kopierer SHK det, han vil negere, ind i sin definition af anti-realismen, hvilket er netop det, man ikke kan, hvis man vil yde realismedebatten retfærdighed:

“Anti-realism is any denial of – or refusal to subscribe to - the view that the word exits...” med de samme tilføjelser som ovenfor refereret. ([Klausen 04] p. 14)

Anti-realisten behøver imidlertid slet ikke at benægte, at verden eksisterer, eller at verdens egenskaber afhænger af, hvordan den erfares. For naturligvis kan en anti-realist mene, at virkeligheden eksisterer, men blot have en anden fortolkning af udsagnet ”Virkeligheden eksisterer”, end realisten har, for så vidt denne har en fortolkning. Anti-realisten kan således mene, at realismedebatten handler om den semantiske mening af dette udsagn, herunder hvad det vil sige, at ting eksisterer og har de egenskaber, de har.

Det er også udtryk for en forenklet opfattelse af realismedebattens substans, hvis udtrykket “the denial” skal betegne det stik modsatte standpunkt. For da præsupponerer det, at anti-realisten kan acceptere realistens problemstilling som værende om eksistens versus ikke-eksistens af virkeligheden. Hvis udtrykket derimod blot skal betegne en eller anden modsigelse, bliver det for løst og ikke en definition på anti-realisme, men blot en eller anden opfattelse, der godtager realistens problemstilling.

For en sikkerheds skyld uddyber Klausen sin fejltagelse med dette udsagn:

“Realism is of course the belief in the existence of reality”. ([Klausen 04] p. 14, min understregning.)

Men som allerede tydeliggjort handler realismedebatten ikke om eksistens versus ikke-eksistens, men om den semantiske mening af vore eksistensudsagn. Og den handler slet ikke om nogen former for tro eller formodninger (“belief”), men om argumenter. Dette leder naturligvis tanken hen på, at SHK’s manglende forståelse af dette allerede antydes med titlen på SHK’s bog, Reality Lost and Found, der antyder, at virkeligheden ikke findes ifølge realismedebattens ene part, men findes ifølge den anden part.

SHK definerer virkeligheden og verden på følgende bemærkelsesværdige måde:

‘And reality is simply “the world” as defined above”: that which exists independently of its being experienced...’ med de fleste af ovennævnte tilføjelser. ([Klausen 04] p. 14)

Det bemærkelsesværdige i dette citat er dets anvendelse af følgende begreb:

“that which exists independently of its being experienced...”.

Denne definition minder utroligt meget om tidligere tiders definition af en eller anden entitet, X, kaldet ”Gud”, f.eks. ”det, som er det største”. Begge definitioner forudsætter, at det er afklaret, hvad det er for et ”det”, der tale om.

For det første præsupponerer definitionen cirkulært, at det har mening at diskutere emnet på denne måde, hvilket netop er det, realismedebatten handler om, og som nogle anti-realister vil argumentere imod. For det andet præsupponerer den, at modparten kan acceptere den. Som det er allerede konkluderet, kræver definitioner afklarede begreber.

Jeg har berørt Klausens fejlfyldte tilgang i afsnittet ”Den semantiske indfaldsvinkel til realismedebatten” i Afhandling Del IV

Litteratur:

Afhandling Nr. 1-7: http://filosofisk-debat.blogspot.dk/ eller

http://sites.google.com/site/antiintroduktionisme.

A. J. Ayer: Language, Truth and Logic, Penguin Books Ltd (Harmondsworth, 1974).

H. P. Grice: “Logic and Conversation”, i Basic Topics in the Philosophy of Language, Robert M. Harnish (ed.), (Harvester Wheatsheaf 1994).

Søren Harnow Klausen: Reality Lost and Found, University Press of Southern Denmark, (Denmark 2004).

Ægte livsførelse.

I filmen Seconds (”Manden der skiftede ansigt”), instrueret af John Frankenheimer, får en livstræt forretningsmand et tilbud, der ligner en chance for at få et nyt liv og en ny identitet: Han modtager et telefonopkald fra en ven, som han troede var død. Vennen fortæller, at han i stedet har fået et nyt og lykkeligt liv, og giver forretningsmanden en adresse, som forretningsmanden finder vej til. Herfra føres han til Selskabet, der overtaler og især truer ham til at få en ny krop og tilværelse. Forretningsmanden er hobbymaler, og det er tanken, at han i sit nye liv skal være professionel kunstmaler. Dette forekommer allerede utroligt eller ”muggent”. Det viser det sig også at være, for kunstmaleren kommer til at leve og bo i et område, hvor der kun bor andre nye liv (bortset fra assistenter eller vogtere fra Selskabet). Kan forretningsmanden virkelig være blevet professionel kunstmaler, eller skal de alle sammen blot stiltiende lade, som om de tror på hinanden?

Det er ganske vist kun ét af filmens budskaber, der ligger gemt her. Imidlertid fik det mig til at tænke på, at man kan forestille sig den mulighed, at der fandtes fagområder, der i sig selv var udmærkede, men hvori folk ville kunne klare sig let og ubesværet og succesrigt; og medmindre de i stedet ønskede at finde et interessant og vigtigt hjørne i fagområdet, ville dette føre til et uautentisk liv. Her ville folk kunne profilere sig og høste anerkendelse uden at yde noget særligt krævende. De ville i det hele taget kunne have en virksomhed, der så ud af noget – men som ikke forudsatte nytænkning. Hvad angår dybsindighed ville der kun være tale om et skin.

I sådanne kredse kunne man give hinanden anerkendelse, uden at modtagerne har bragt videnskaben videre, selv om dette burde være en betingelse. Tidligere kunne indflydelsesrige grupper i samfundet kritiseres for at holde på deres viden... Men i disse kredse værner man tværtimod sig selv mod indsigt, hvad deres medlemmer naturligvis ikke behøver at være bevidste om, hvis de ikke evner at forstå dette. De kan tværtimod have en række idiosynkrasier og være optagede af deres ihærdige afværgereaktioner mod det, som disse er rettede imod. Det er disse afværgereaktioner i form af artikler eller afhandlinger, som anses for fortjenstfulde blandt deres ligestillede, også selv om der faktisk skulle findes indlysende argumenter imod dem på grund af basale fejlargumenter.

Vi kan forestille os, at andre personer i denne verden er tilfredse med det første det bedste, som de synes om, og at de derfor finder netop det, de synes om. Nogle kan ligefrem indrømme, at de mener, at det kan sagen udmærket handle om. Disse personer møder heller ikke ligefrem kritik fra ligestillede, men accept.

Sådanne mennesker ville i dette samfund leve et uægte liv lige som de forflyttede medlemmer af det ovennævnte samfund i Seconds. Det samme gælder naturligvis for medlemmer af trossamfund. Deres udsagn har kun mening inden for et lukket system, som i et rollespil eller i ludo. Det modsatte heraf består i at fastholde resultater, selv om man ikke selv kan lide dem... Dette er den videnskabelige indstilling.

Det bemærkelsesværdige er, at på trods af, at mennesker i denne forestillede verden næppe vil være tilfredse med deres liv og indsats, befinder mennesker i den virkelige verden sig tilsyneladende godt med en tilsvarende falsk livsførelse.