16/2 2016.
Indhold
Ikke matematik, men tidsfilosofi.
Zenons
paradokser om bevægelse, dvs. det der kaldes ”Achilleus og skildpadden” og
Dikotomiparadokset handler ikke om matematik, men om tidsfilosofi. Der indgår
ganske vist matematik i denne artikel, men kun for at vise, at den er
fejlanbragt.
Pointen
med overskriften er, at matematiske analyser af disse såkaldte paradokser ikke
er nødvendige for at fortolke dem.
Gengivelse af Zenons paradokser om bevægelse:
Paradokset om Achilleus og skildpadden er det paradoks, som Aristoteles kalder “the
so-called ‘Achilles’”:
”In
a race the quickest runner can never overtake the slowest, since the pursuer
must first reach the point whence the pursued started, so that the slower must
always hold a lead.” (239b14) ([Kirk 83], p. 272)
Dikotomiparadokset.
”Zenons
dikotomiberetning” indgår som en del af dikotomiparadokset:
“...
The first [paradox] asserts the non-existence of motion on the ground that that
which is in locomotion must arrive at the half-way stage before it arrives at
the goal...” (239b11)
([Kirk 83], p. 270, min kantede parentes.)
Zenons dikotomiberetning er simpelthen det sidste udsagn:
”that
which is in locomotion must arrive at the half-way stage before it arrives at
the goal” (239b11) ([Kirk 83, p. 270)
Misforståelser af paradokserne.
Et
hyppigt fremført argument mod disse paradokser består i at bevise, at hvad der
kaldes ”summen af længderne af de passerede strækninger” er lig med hele
strækningens længde. Thi dette betyder ifølge tankegangen, at løbet afsluttes.
Argumentet
forudsætter, at denne sum kan forstås som grænseværdien af summen af de første
n strækninger for n gående mod uendelig. Dette er imidlertid ikke tilfældet,
for per definition er en grænseværdi af en sum af n tal for n gående mod
uendelig ikke en sum, men blot en værdi, som denne opsummering kan komme
vilkårligt tæt på uden at komme længere væk for noget højere n. Derfor modsiger
dette bevis ikke Zenons paradoks, men efterligner den snarere.
Der
er kun tale om, at en funktion konvergerer
mod en bestemt værdi, ikke at denne værdi bliver opnået. At fastholde, at denne
værdi er et beregningsresultat, er
derfor at ignorere den problematik, der er præsenteret i Zenons beretning.
Enten
må vi forstå Zenons paradoks i en matematisk kontekst, eller også må vi
forudsætte en common sense opfattelse af fysik og fysiske
forhold. Men hvis vi forudsætter common
sense, er der hverken
grund til at modbevise Zenons paradoks om Achilleus og skildpadden eller
dikotomiparadokset.
Thi
det stemmer på forhånd med common
sense, at Achilleus
indhenter skildpadden. Vi kan ganske enkelt bruge formlen s = v * t, hvor s betegner
længden af objektets passerede strækning, v objektets hastighed, og t betegner
den forløbede tid. Hvis strækningens længde er S, når objektet i mål til tiden
T = S / v.
Fejltagelsen den let gendrivelige fortolkning.
At
forudsætte en common sense opfattelse er et tilfælde af Den let gendrivelige fortolkning. Denne
består i ikke at vælge den vanskeligst gendrivelige fortolkning af et udsagn,
man vil gendrive:
Når man kritiserer en argumentation,
bør man i sandhedens interesse ikke vælge den lettest gendrivelige fortolkning
af den, men den vanskeligst gendrivelige fortolkning. Thi når man har gendrevet
den lettest angribelige fortolkning, har man stadigvæk ikke gendrevet den
vanskeligst gendrivelige fortolkning.
En
vanskeligere gendrivelig fortolkning kan opnås ved at fjerne underordnede
detaljer i teksten, der kan føre til en gendrivelse.
Det kan
fremføres mod paradokset, at det drejer sig om et endeligt antal skridt, eller
at løberen vil nå sit mål, når hans afstand til målet er mindre end diameteren
af et fysisk punkt, hvad det end er.
Disse
indvendinger bortfalder, hvis paradokset fortolkes på en mere abstrakt måde,
som en beretning, der foregår i en matematisk model tilføjet tid.
Zenons
budskab.
Den afgørende
pointe.
Det ses,
at efter hvert af de beskrevne stadier er det bevægede objekts situation
principielt uændret. Når der dertil tilføjes, at der ingen absolutte længder findes
på linjen i et euklidisk rum, er situationen helt uændret efter hvert af disse
stadier.
Eftersom
tidspunkt og position følges ad efter den ovenfor angivne formlen s = v * t,
gælder de citerede paradokser lige så vel for den forløbne tid som for den
passerede strækning.
Konklusion.
Men
hvorfor er den ovenfor givne beskrivelse s = v * t, ikke lige så god som Zenons
beskrivelse af stadier?
Grunden
er, at den ikke behandler overgangen fra fortid til nuet, men ignorerer den: Til
tiden t = T er vi i nuet; før det tidspunkt var vi på vej til nuet, men
overgangen til nuet beskrives ikke.
I
modsætning hertil beskriver Zenons paradoks, hvorledes vi kan komme vilkårligt
tæt på nuet uden at være der. Det ignorerer ikke spørgsmålet om overgangen fra
fortid til nutid, men viser, at der er en dualisme mellem fortid og nutid.
I
nuet oplever vi nuet, men tiden før nuet erindrer vi kun, eller snarere, den er
kun erindringer.
Efterskrift.
Det
må bemærkes, at Zenons paradokser også gælder for de enkelte strækninger,
specielt for det første og endnu mere specielt for det første af de derved
fremkomne strækninger. Dette ligner den alternative fortolkning af dikotomiparadokset:
For
at nå i mål skal objektet nå til midtpunktet af strækningen. For at nå halvvejs
til det punkt, skal det nå halvvejs dertil, etc. Lige som ovenfor kan vi om
tidspunkter og varigheder lige som om punkter og længder. Vi kan forestille os
et fremtidigt tidspunkt vilkårligt tæt på nuet, men ikke beskrive bevægelsen ud
af nuet, overgangen fra nuet til fremtiden. Der forbliver en dualisme mellem
nuet og fremtiden.
Dette
paradoks er hverken afklaret eller forstået af common sense.
Litteratur.
[Kirk
83] G.S. Kirk, J.E. Raven, M. Schofield: The Presocratic Philosophers, 2.
ed.,
(Cambridge 1983)
(Cambridge 1983)
[Afhandl. Nr. 8]
http://filosofisk-debat.blogspot.dk/2013/01/afhandling-nr-8.html
[Zenon kort] http://ovemk.blogspot.dk/2015/10/zenons-pardokser-om-bevgelse-en-kort.html
